Divisibilidad por 7

Question

He visto otros criterios de divisibilidad por 7. Criterio se describe a continuación presentes en el libro Manual de Matemáticas EN Bronshtein (p. 323) es interesante, pero no podía demostrarlo. Deje $n = (a_ka_{k-1}\ldots a_2a_1a_0)_{10} = \displaystyle{\sum_{j=0}^{k}}a_{k-j}10^{k-j}$. La expresión $$ Q_{3}^{\prime}(n) = (a_2a_1a_0)_{10} - (a_5a_4a_3)_{10} + (a_8a_7a_6)_{10} -\ldots $$ se llama alterna suma de los dígitos de la tercera orden de $n$. Por ejemplo, $$ Q_{3}^{\prime}(123456789) = 789-456+123=456 $$ La proposición: $7 | n \ \Leftrightarrow \ 7 | Q_{3}^{\prime}(n)$.

prueba. ??

Gracias por la ayuda.

Answer 1

$n = c_0 + c_1 1000 + \cdots + c_k 1000^k = f(1000)\,$ es un polinomio $\,f\,$ $1000$ con entero coef $\,c_i.\,$ por lo Tanto, $\,{\rm mod}\ 7\!:\ \color{#c00}{1000\equiv -1}\,\Rightarrow\, n = f(\color{#c00}{1000})\equiv f(\color{#c00}{-1}) = c_0 - c_1 + \cdots + (-1)^k c_k$ sigue aplicando el Polinomio de la Congruencia de la Regla siguiente.

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A continuación son la base de la congruencia de las reglas. $ $ Deje $\rm\ A,B,a,b\,$ ser cualquier enteros.

La Congruencia De La Suma De La Regla De $\rm\qquad\quad A\equiv a,\quad B\equiv b\ \Rightarrow\ \color{#c0f}{A+B\,\equiv\, a+b}\ \ \ (mod\ m)$

Prueba de $\rm\ \ m\: |\: A\!-\!a,\ B\!-\!b\ \Rightarrow\ m\ |\ (A\!-\!a) + (B\!-\!b)\ =\ \color{#c0f}{A+B - (a+b)} $

La Congruencia Del Producto Regla De $\rm\quad\ A\equiv a,\ \ and \ \ B\equiv b\ \Rightarrow\ \color{blue}{AB\equiv ab}\ \ \ (mod\ m)$

Prueba de $\rm\ \ m\: |\: A\!-\!a,\ B\!-\!b\ \Rightarrow\ m\ |\ (A\!-\!a)\ B + a\ (B\!-\!b)\ =\ \color{blue}{AB - ab} $

La congruencia de Alimentación de la Regla de $\rm\qquad \color{}{A\equiv a}\ \Rightarrow\ \color{#c00}{A^n\equiv a^n}\ \ (mod\ m)\ \ $ para todos los productos naturales $\rm\,n.$

Prueba de $\ $ $\rm\,n=0\,$ $\,1\equiv 1\,$ tan cierto. $\rm\,A\equiv a,\ A^n\equiv a^n \Rightarrow\, \color{#c00}{A^{n+1}\equiv a^{n+1}},\,$ por el Producto de la Regla, por lo que el resultado de la siguiente manera por inducción en $\rm\,n.$

El polinomio de la Regla de la Congruencia $\ $ Si $\rm\,f(x)\,$ es el polinomio con el entero de los coeficientes, a continuación, $\rm\ A\equiv a\ \Rightarrow\ f(A)\equiv f(a)\,\pmod m.$

Prueba de $\ $ Por inducción en $\rm\, n = $ grado $\rm f.\,$ si $\rm\, n = 0.\,$ Else $\rm\,f(x) = f(0) + x\,g(x)\,$ $\rm\,g(x)\,$ un polinomio con coeficientes enteros de grado $\rm < n.\,$ Por inducción $\rm g(A)\equiv g(a)$ $\rm \color{#0a0}{A g(A)\equiv\! a g(a)}\,$ por la Regla del Producto. Por lo tanto $\rm \,f(A) = f(0)+\color{#0a0}{Ag(A)}\equiv f(0)+\color{#0a0}{ag(a)} = f(a)\,$ por la Suma de la Regla.

Cuidado con $ $ que tales reglas no necesita tener cierto para otras operaciones, por ejemplo, el exponencial analógico de arriba $\rm A^B\equiv\, a^b$ no es cierto en general (a menos que $\rm B = b,\,$, por lo que sigue aplicando el Polinomio Regla con $\rm\,f(x) = x^{\rm b}).$

Answer 2

Answer 3

pista