Utiliza el cálculo de unidades y realiza comprobaciones de la realidad para identificar los errores. Estos principios generales son útiles para cualquier persona que realice cualquier cálculo estadístico, especialmente para aquellos que son autoridades y necesitan obtener las respuestas correctas.
Primero respondiendo a un comentario la respuesta parece incorrecta porque intuitivamente cada persona espera $T/2$ tiempo en promedio, por lo que la respuesta debería ser $T/2$ veces el número esperado de camareros ( $\lambda T$ por definición), igual a $\lambda T^2/2.$ Además, cuando $T$ y $\lambda$ son pequeñas la respuesta podría ser negativa: tomar $T=1$ hora, digamos, y $\lambda = 1$ persona por hora: $\lambda T^2 - T = -1/2$ no tiene sentido.
No obstante, la estrategia parece buena . Por lo tanto, no intentaré mejorarla, sino que responderé a la pregunta literal demostrando un método sencillo para comprobar el propio trabajo: a saber, empleando el unidades de cálculo .
Por seguimiento de las unidades de medida podemos encontrar dónde se han colado los errores. Observe que $T,$ $S_i,$ y $W$ están en unidades de $\text{[time]},$ , $N$ no tiene unidades, y $\lambda$ debe estar en cuentas por unidad de tiempo, o $\text{[time]}^{-1}.$ Llevemos estas unidades explícitamente en el cálculo mientras tengan sentido:
$$\begin{aligned} E(W \text{[time]}) &= E\left(E\left(W \text{[time]}\mid N(T)\right)\right) \\ &= E\left(E\left(\sum_{i=1}^{N(T)} T\text{[time]}-S_i\text{[time]}\right)\right)\\ &= E\left(E\left(T\text{[time]}\cdot N(T) - \sum_{i=1}^{N(T)} S_i\text{[time]}\right)\right)\\ &= T\text{[time]}\cdot\lambda\text{[time]}^{-1} T\text{[time]} - E\left(E\left(\sum_{i=1}^{N(T)} S_i\text{[time]}\right)\right) \\ &= \lambda\text{[time]}^{-1} T^2\text{[time]}^2 - E\left(\sum_{i=1}^{N(T)} \frac{i}{{\lambda}\text{[time]}^{-1}}\right)\\ &\ldots\\ &= \lambda T^2\text{[time]} - \frac{1}{2\lambda\text{[time]}^{-1}}E\left(N(T)+N(T)^2\right)\\ &\overset{?}{=}\lambda T^2\text{[time]} - \frac{1}{2\lambda}\text{[time]}\left(\lambda\text{[time]}^{-1}T^2\text{[time]}^2 + \cdots + (\lambda\text{[time]}^{-1}T^2\text{[time]}^2)^2\right)\cdots \end{aligned} $$
Las unidades de medida del último término, al expandirse, son $\text{[time]}\times \text{[time]}^{-1}\times \text{[time]}^2 = \text{[time]}^2$ y $\text{[time]}\times (\text{[time]}^{-1}\times \text{[time]})^2 = \text{[time]}^3,$ ninguno de los cuales es conmensurable con el primer término, que está en unidades de $\text{[time]}$ (como debe ser). Aquí debe producirse un error. Quizá no sea el único error -y quizá ni siquiera sea el primero-, pero al menos hemos encontrado algo que corregir.
Evidentemente, las expectativas no son las que se suponían. De hecho, como el recuento $N(T)$ tiene una distribución de Poisson con parámetro $\lambda\text{[time]}^{-1} T\text{[time]} =\lambda T$ (sin unidades), su expectativa y su varianza son ambas sin unidades e iguales a $\lambda T.$ En consecuencia,
$$E(N(T)^2) = \operatorname{Var}(N(T)) + E(N(T))^2 = \lambda T + (\lambda T)^2$$
(todos sin unidades). Continuando con la penúltima línea, justo antes del error, encontramos
$$\begin{aligned} E(W\text{[time]}) &= \cdots = \lambda T^2\text{[time]} - \frac{1}{2\lambda}\text{[time]}\left(\lambda T + (\lambda T + (\lambda T)^2)\right)\\ &= \frac{\lambda}{2}T^2\text{[time]} - T\text{[time]}. \end{aligned}\tag{*} $$
Aunque las unidades son ahora correctas el valor sigue siendo erróneo: resta incorrectamente $T.$ (Ya vimos al principio cómo eso puede llevar a respuestas erróneas. Prueba con $T=1/2$ hora y $\lambda = 1$ por hora, por ejemplo). Si volvemos a las preguntas, vemos que el sustraendo proviene de la $N(T) + (N(T))^2$ la expectación. ¿Dónde entra eso en los cálculos? En el momento en que las expectativas del $S_i$ fueron tomadas. Esto sugiere evaluar la suma esperada de una manera diferente.
Ahora, la suma de los $S_i$ no le importa el orden de llegada de los pasajeros. Si olvidamos el orden, todo el $S_i$ tienen la misma distribución y, como bien sabemos, esa distribución es uniforme entre $0$ y $T.$ Así, la expectativa de cualquier tiempo de espera es $T/2\text{[time]}$ y la expectativa de su suma (condicionada a $N(T)$ ) debe ser $N(T)T/2.$ Tomando las expectativas encontramos
$$E\left(\sum_{i=1}^{N(T)} S_i\text{[time]}\right) = \lambda\text{[time]}^{-1}T^2\text{[time]}^2/2,$$
que al menos sigue siendo en unidades de tiempo. Utilizando esto en lugar del segundo término de $(*)$ da
$$E(W\text{[time]}) = \lambda T^2 - \lambda T^2/2 = \lambda T^2/2,$$
a tiempo que coincide con la respuesta intuitiva.
