Módulo en el que cada submódulo que contiene el radical es una intersección de submódulos maximales.

Question

$\newcommand{\Rad}{\operatorname{Rad}}$ Dejemos que $M$ ser una izquierda $R$ -módulo con $\Rad(M)\neq 0$ donde $\Rad(M)$ se define como la intersección de todos los submódulos maximales de $M$ . Por lo tanto, si $K = \bigcap_{i\in I} N_i$ donde $N_i$ es un submódulo maximal de $N$ entonces está claro que $\Rad(M)\subseteq K$ . ¿Pero qué pasa con lo contrario de esta afirmación? Es decir, si $0\neq \Rad(M)\leq K\leq M$ ¿hay una familia $\lbrace N_i \rbrace_{i\in I}$ de submódulos maximales de $M$ tal que $K = \bigcap_{i\in I} N_i$ ?

En $\mathbb{Z}_{60}$ por ejemplo, todo submódulo que contenga el radical $\Rad(M) = 30\mathbb{Z}_{60}$ es una intersección de submódulos maximales. Me parece que en $\mathbb{Z}_{n}$ en general, cada submódulo que contiene el radical es una intersección de submódulos maximales. Si esta propiedad es cierta (en $\mathbb{Z}_{n}$ (módulos artinianos y noetéricos), ¿cómo demostrarlo?

Se agradecerá cualquier ayuda (pruebas, indicaciones, referencias) sobre módulos que satisfagan esta propiedad. Gracias de antemano.

Answer 1

Los anillos sobre los que cada submódulo de cada módulo derecho es una intersección de submódulos maximales del módulo se llaman anillos en V derechos en honor a Villamayor.

Conmutador $V$ son sólo anillos regulares de von Neumann, de los cuales $\Bbb Z_{30}$ es un ejemplo. Pero $\Bbb Z_{8}$ no es un anillo V, ya que el ideal generado por 4 no es una intersección de ideales máximos.

La razón por la que no se encuentra entre los cocientes de $\Bbb Z$ es que el cociente por un ideal semiprimo deja un anillo semisimple, que es un anillo V.

Para obtener un ejemplo de un anillo que no tenga esta propiedad, tomemos el anillo de funciones continuas sobre el intervalo $[0,1]$ en $\Bbb R$ (Su radical de Jacobson es cero, pero no es regular de von Neumann, por lo que tiene un ideal que no es una intersección de ideales máximos.

Para ello, el módulo $\Bbb Z_\Bbb Z$ es un módulo noetheriano que carece de la propiedad

Este anillo se puede utilizar para crear un anillo con radical no nulo que tenga la misma propiedad. Por ejemplo, tomemos $\Bbb Z\times \Bbb Z$ con adición $(n,m)+(n',m')=(n+n',m+m')$ y la multiplicación $(n,m)(n'm')=(nn',nm'+mn')$ . Lo ideal es $\{0\}\times \Bbb Z$ es nilpotente, por lo que el radical no es cero. Los otros ideales tienen exactamente la misma estructura que $\Bbb Z$ por lo que el ideal generado por $(4,0)$ no es una intersección de ideales máximos, por ejemplo.