Prueba $|GL(2,p)| = (p^2-1)(p^2-p)$

Question

Dejemos que $G = GL(2,p)$ y $$P= \{ \begin{bmatrix} 1 & \lambda \\ 0 & \lambda \end{bmatrix} | \lambda \in F \}$$ donde $F$ denota el campo de $p$ elementos, $p$ un primo.

Demostrar que $|GL(2,p)| = (p^2-1)(p^2-p)$ y que $P$ es un Sylow $p$ -subgrupo de $G$ .

Empecé multiplicando

$$\begin{bmatrix} 1 & \lambda \\ 0 & \lambda \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & \lambda \\ 0 & \lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & \lambda^2 + \lambda \\ 0 & \lambda^2 \end{bmatrix}$$

Pero entonces cuando tomo el determinante de esa matriz sólo obtengo $\lambda^2$ , lejos del resultado deseado.

Por favor, alguien puede indicarme qué estoy haciendo mal.

Tampoco sé cómo enfocar la segunda parte de la pregunta, por favor alguien podría darme una pista.

Answer 1

No estoy muy seguro de la notación. Si $GL(2,P)$ es $GL_2(\mathbb F_p)$ , entonces podemos contar la cantidad de todas las posibilidades. Es un $2 \times 2$ matriz, para la primera columna(o fila), tenemos $p^2-1$ diferentes opciones, solo hay que evitar $0$ para ambas entradas, para la segunda columna, tenemos que elegir un vector que no esté en el tramo de la primera columna, es decir $$(c,d)^T \neq k(a,b)^T$$ donde $k \in \mathbb F_p$ . así, para cada par que ponemos en la primera columna, tenemos $p^2 - p$ diferentes opciones (no necesitamos considerar $(0,0)^T$ porque $0 \in \mathbb F_p$ ) para la segunda columna, implica: $$|GL_2(\mathbb F_p)| = (p^2-1)(p^2 - p)= p(p+1)(p-1)^2$$ Para la siguiente parte, sólo tienes que verificar. $$\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & a \\ \end{pmatrix}^p = \begin{pmatrix} 1 & \sum_{i=1}^p a^i \\ 0 & a^p \\ \end{pmatrix}$$ Nota, $a^p \equiv a \pmod p$ Además, $$\sum_{i=1}^p a^i = \frac{a(1-a^p)}{1-a} \equiv a \pmod p$$ Así, el orden de este elemento es $p$ entonces genera un grupo de orden $p$ . Ahora terminamos la prueba.