si $ f(x) $ es integrable, ¿es cierto que $ f\left(x\right)e^{-ax} $ es absolutamente integrable? (donde $ a>0 $ )

Question

Supongamos que tenemos una función $ f $ tal que $ \intop_{0}^{\infty}f\left(x\right)dx $ converge condicionalmente.

Ahora dejemos que $ a>0 $ sea un número real. ¿Es cierto que $ f\left(x\right)e^{-ax} $ absolutamente integrable? Es decir, ¿es cierto que $$ \intop_{0}^{\infty}|f\left(x\right)e^{-ax}|dx<\infty $$

No he podido encontrar un contraejemplo, y no veo realmente cómo demostrarlo.

Se agradecería cualquier ayuda.

Gracias de antemano.

Answer 1

Dejemos que \begin{align*} f(x)=\dfrac{\sin(1/x)}{x}\chi_{(0,1)}(x), \end{align*} como \begin{align*} \int_{0}^{1}\dfrac{\sin(1/x)}{x}dx=\int_{1}^{\infty}\dfrac{\sin u}{u}du, \end{align*} entonces $f$ es integrable. Pero \begin{align*} \int_{0}^{\infty}|f(x)|dx=\int_{1}^{\infty}\left|\dfrac{\sin u}{u}\right|du=\infty, \end{align*} así que $f$ no es absolutamente integrable.

Por otro lado, \begin{align*} \int_{0}^{\infty}|f(x)|e^{-ax}dx=\int_{0}^{1}\left|\dfrac{\sin(1/x)}{x}\right|e^{-ax}dx\geq e^{-a}\int_{0}^{1}\left|\dfrac{\sin(1/x)}{x}\right|dx=\infty. \end{align*}

Answer 2

Según lo solicitado por OP/Mark Viola, ¿qué pasa si $f$ siendo absolutamente integrable en cualquier intervalo cerrado en $[0,\infty)?$

Posible solución:

Dejemos que \begin{align*} f(x)=\dfrac{\sin(e^{x})}{x}\cdot e^{x}\cdot\chi_{[1,\infty)}(x), \end{align*} entonces \begin{align*} \int_{0}^{\infty}f(x)dx&=\int_{1}^{\infty}\dfrac{\sin(e^{x})}{x}\cdot e^{x}dx\\ &=\int_{e}^{\infty}\dfrac{\sin u}{\log u}du\\ &=-\int_{e}^{\infty}(-\cos u)\cdot-\dfrac{1}{(\log u)^{2}}\cdot\dfrac{1}{u}du\\ &=-\int_{e}^{\infty}\dfrac{\cos u}{u(\log u)^{2}}du, \end{align*} y es fácil ver que \begin{align*} \int_{e}^{\infty}\dfrac{1}{u(\log u)^{2}}du<\infty, \end{align*} así que $f$ es integrable en $[0,\infty)$ .

Por supuesto, $f$ es absolutamente integrable en $[0,L]$ para cualquier $L>0$ ya que el integrando es continuo en $[0,L]$ .

Ahora calculamos que \begin{align*} \int_{0}^{\infty}|f(x)|e^{-x}dx&=\int_{1}^{\infty}\dfrac{|\sin(e^{x})|}{x}dx\\ &=\int_{e}^{\infty}\dfrac{|\sin u|}{u\log u}du\\ &\geq\sum_{n=1}^{\infty}\int_{n\pi+\pi/4}^{(n+1)\pi-\pi/4}\dfrac{|\sin u|}{u\log u}du\\ &\geq\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\int_{n\pi+\pi/4}^{(n+1)\pi-\pi/4}\dfrac{1}{(n+1)\pi-\pi/4}\cdot\dfrac{1}{\log((n+1)\pi-\pi/4)}du\\ &\approx\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n\log n}\\ &=\infty, \end{align*} así que $f(\cdot)e^{-(\cdot)}$ no es absolutamente integrable en $[0,\infty)$ .