Estoy tratando de resolver la siguiente pregunta, pero no llegué a ninguna respuesta, me alegraría mucho si alguien pudiera ayudarme al respecto.
Dejemos que $E$ sea un espacio de Hilbert sobre $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ con el producto interno $\langle\cdot\;| \;\cdot\rangle$ y la norma $\|\cdot\|$ . Sea $T\in \mathcal{L}(E)$ ser un operador. Es bien sabido que el rango numérico de $T$ $$W(T)=\{\langle Tx\;|\;x\rangle:\;x \in E,\;\;\|x\|=1\},$$ es convexo. Si $\lambda=\langle T x_1\; |\;x_1\rangle\in W(T)$ y $\mu=\langle T y_1\; |\;y_1\rangle\in W(T)$ , donde $\|x_1\|=\|y_1\|=1$ . Por qué para cualquier punto $\eta$ en el segmento de línea que une $\lambda$ y $\mu$ existen números complejos $\alpha$ y $\beta$ tal que $\|\alpha x_1+\beta y_1\|=1$ y $\langle T (\alpha x_1+\beta y_1)\; |\;\alpha x_1+\beta y_1\rangle=\eta.$ ??
Lo intento de la siguiente manera:
Dejemos que $M$ sea un subespacio abarcado por $x_1$ y $y_1$ y $P_{M}$ sea una proyección de $E$ en ${M}$ . Considere $S=P_{M}TP_{M}$ . Deducimos que $\langle S x_1\; |\;x_n\rangle=\langle T x_1\; |\;x_1\rangle$ y $\langle S y_1\; |\;y_1\rangle=\langle T y_1\; |\;y_1\rangle$ . Por lo tanto, $\langle T x_1\; |\;x_1\rangle,\langle T y_1\; |\;y_1\rangle\in W(S)=\{\langle Sx\;|\;x\rangle=\langle Tx\;|\;x\rangle:\;x \in M,\;\;\|x\|=1\},$ que es convexo. En consecuencia, cualquier punto $\eta$ en el segmento de línea que une $\lambda$ y $\mu$ pertenece a $W(S)$ . Por lo tanto, existen $z\in M$ tal que $\|z\|=1$ y $\langle Tz\; |\;z\rangle=\eta$ . Esto implica que existen números complejos $\alpha$ y $\beta$ tal que $\|\alpha x_1+\beta y_1\|=1$ y $\langle T (\alpha x_1+\beta y_1)\; |\;\alpha x_1+\beta y_1\rangle=\eta.$
Pero, ¿por qué? $$W(S)=\{\langle Sx\;|\;x\rangle=\langle Tx\;|\;x\rangle:\;x \in M,\;\;\|x\|=1\}?$$
¡¡Gracias a todos!!
