Escribe $F$ como una combinación lineal de elementos de $\mathcal B^*$

Question

Si $V=\mathbb R[x]_k=\{\sum\limits_{i=1}^ka_ix^i:a_i\in\mathbb R, \forall i\}$ es un espacio vectorial de dimensión $k+1$ en $K=\mathbb R$ y $\mathcal B=\{1,x,\dots,x^k\}$ es una base de $V$ . El espacio dual de $V$ es el espacio vectorial $V^*=\{F:V\to K:F\ \text{is linear}\}$ para todos $i$ ; $x^{i^*}$ se define como $x^{i^*}(x^j)=\delta_{ij}=\begin{cases} 1 & \textrm{if i=j}\\0 & \textrm{else}\end{cases}$ , dejemos que $\mathcal B^*=\{x^{i^*}:i\in\{0,\dots,k\}\}$ y $F:V\to K$ con $p(x)\mapsto\int_0^1 p(x)$ escribir $F$ como una combinación lineal de elementos de $\mathcal B^*$

Primero $\mathcal B^*$ es la base de $V^*$ porque $Hom(V,K)\simeq Mat_{1\times(k+1)}(K)$ con $f\mapsto(f(1),\dots f(x^k)$ (Puedo demostrar que es inyectiva y con nuestra elección $x^{i^*}$ también es suryectiva, y como $x^{i^*}$ s son linealmente independientes es una base, pero cómo puedo escribir $F$ ;

$F=\lambda_01^*+\lambda_1x^*+\dots\lambda_kx^{k^*}$ para los ejemplos si $p(x)=x$ entonces $\int_0^1 p(x)=\frac12$ Así que $F=\frac12x^*$ y en general $\lambda_k=\frac{1}{k+1}$ ¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Sí, tienes razón. En general, si $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita con base $\mathcal{B} = \{ v_1, \dots, v_n \}$ y $\mathcal{B}^{*} = \{ \varphi^1, \ldots, \varphi^n \}$ es la base dual correspondiente (así $\varphi^i(v_j) = \delta^i_j$ ), entonces dado un funcional lineal $F \colon V \rightarrow \mathbb{F}$ tenemos

$$ F = \sum_{i=1}^n F(v_i) \varphi^i. $$

En su caso,

$$ F(x^i) = \int_0^1 x^i \, dx = \frac{1}{i+1} $$ así que

$$ F = \sum_{i=0}^k \frac{1}{i+1} \left( x^i \right)^{*}. $$