Sobre el significado de "Clase de grupos finitos".

Question

¿A qué nos referimos precisamente cuando hablamos de un clase de grupos finitos ? ¿Se trata simplemente de una colección de algunos grupos finitos, quizá recogidos con un criterio (ejemplo: la clase de todos los grupos cíclicos finitos), o existe una definición precisa de "clase de grupos finitos" que implica algunas otras propiedades?

En el caso de que una clase de grupos finitos sea simplemente una colección de grupos finitos que sigue algún criterio (por ejemplo, grupos cíclicos finitos como los anteriores), ¿qué podemos decir de una colección de algunos grupos finitos recogidos al azar? Por ejemplo, $\{S_5, A_3,D_4, C_9\}$ ... Yo lo llamaría simplemente un set de grupos finitos. ¿Es esto correcto?

Gracias a todos

Answer 1

SI la colección $\mathcal G$ de todos los grupos finitos $(G,\times)$ es un conjunto, entonces se puede definir un conjunto:

$$\mathcal S = \bigcup_{(G,\times)\in \mathcal G} G$$

En particular, si $Y$ es un conjunto cualquiera, existe un grupo en el conjunto único $G=\{Y\}$ . Así, para cualquier conjunto $Y$ , $Y\in \mathcal S$ . Esto significa que $\mathcal S$ contiene todos los conjuntos. Esto no está permitido en la teoría de conjuntos debido a las paradojas estándar.

Si tomas un conjunto infinito dado, $X$ se pueden definir todos los grupos en subconjuntos finitos de $X$ y entonces esa colección es un conjunto. Y todo grupo finito es isomorfo a uno de estos grupos sobre subconjuntos de $X$ pero el isomorfismo no es único ni "natural", por lo que puede ser complicado, en la teoría de categorías, tratar este hecho.

También hay una confusión en el uso del término "clase" aquí, ya que, cuando se trata de grupos finitos, se habla de la clasificación, y eso significa algo diferente al término "clase" de la teoría de conjuntos.

Answer 2

La definición estándar de un clase de grupos es una clase $\mathcal{C}$ (en el sentido de la teoría de conjuntos) cuyos miembros son grupos con la propiedad de que si $G$ y $H$ son grupos isomorfos entonces $G \in \mathcal{C} \Leftrightarrow H \in \mathcal{C}$ .

Así que sí, hay una clase de grupos cíclicos finitos y una clase de grupos nilpotentes, etc. Es habitual estudiar las propiedades de cierre de determinadas clases. Por ejemplo, una clase puede ser cerrada o no bajo subgrupos, grupos cocientes, productos directos, productos libres, etc.