Ah, esto me da una oportunidad para dar un hogar adecuado para un análisis I publicado por primera vez en Reddit. (Yo hubiera preferido la primera lo publicado aquí :-P)
Matemática derivación
Todo comienza con un post en el blog he escrito que llega muy cerca de abordar la pregunta exacta que estás preguntando. En el post, que calcula qué tan rápido un objeto se mueve después de caer una distancia determinada, asumiendo cuadrática de arrastre. Pero una de las fórmulas que he utilizado para llegar a ese resultado es el tiempo que tarda un objeto en caer de una cierta distancia.
Aquí está el argumento de mi post. Si usted escribir la segunda ley de Newton para un objeto que cae a través del aire, se obtiene
$$\frac{1}{2}CA\rho \dot{y}^2 - mg = m\ddot{y}$$
es decir, la fuerza de arrastre menos que la fuerza gravitacional es igual a la masa multiplicada por la aceleración. En esta ecuación, $m$ es el objeto de la masa, $A$ es el área de sección transversal presenta, $C$ es el objeto del coeficiente de arrastre, $\rho$ es la densidad del fluido que está cayendo a través de, $g$ es la aceleración de la gravedad, y $y$ es su altura en cualquier momento. La solución de esta ecuación para $\dot{y}$ da
$$\dot{y} = -\sqrt{\frac{2mg}{CA\rho}}\tanh\biggl(\sqrt{\frac{gCA\rho}{2m}}t\biggr)$$
Luego puede integrar esto con respecto al tiempo y lo solucionamos $t$ para obtener
$$t = \sqrt{\frac{2m}{gCA\rho}}\cosh^{-1}\exp\biggl[\frac{CA\rho}{2m}(h - y)\biggr]$$
Un par de pasos se muestran en mi blog, pero no es realmente importante. El punto es que esta fórmula da el tiempo de $t$ que tarda un objeto en caer de una distancia $h - y$.
Verás que las propiedades de los objetos en caída ocurrir en esta fórmula sólo como parte de la particular combinación de $\frac{CA\rho}{2m}$. Por lo que el comportamiento de un objeto que cae puede ser completamente caracterizado por esa relación. Si se llama a esta relación $r$, entonces la fórmula se convierte en
$$t = \sqrt{\frac{1}{rg}}\cosh^{-1}\exp[r(h-y)]$$
Para un par de valores de la muestra de $h - y$, esto es lo que se ve como una función de $r$:
![Plot of time taken to fall a given distance as a function of r]()
Usted notará que el tiempo de caída de una cierta distancia, siempre aumenta con el aumento de los valores de $r$. Así que el más grande de un objeto de valor de $\frac{CA\rho}{2m}$, más tarda en caer. Por el contrario, un objeto con una menor proporción de área de sección transversal a la masa (es decir, menor $r$, suponiendo la misma forma) caerá más rápido.
Ahora, hablando a grandes rasgos, una persona gorda tiende a ser mayor que la de una persona delgada en las tres dimensiones. Por lo que su masa de casi ser mayor por un factor de $k^3$ algunos $k$, mientras que su área de sección transversal sólo será más grande por $k^2$. (Esta es una gran aproximación, por supuesto, pero aún debe trabajar para la pregunta de "más rápido" o "lento.") En consecuencia, $r$ para una persona gorda va a ser más pequeñas (por un factor de $k$), lo que significa que se necesita menos tiempo para el otoño.
Interpretación física
Eso es todo bien y bueno, pero sólo va a través de la matemáticas no necesariamente dejar claro por qué (físicamente) de grasa de las personas caen más rápido. El quid de la explicación está en que el último párrafo: una persona gorda tiene una masa más grande en proporción a su superficie. Puesto que la fuerza de arrastre es proporcional al área, pero el peso es proporcional a la masa, como una persona se pone más gordo, el peso (bajar) aumenta más que la fuerza de arrastre (subiendo), lo que significa que la persona se acelera más.
Más matemáticas: factor de desaceleración
Ahora, ¿qué acerca de esta "desaceleración" factor de que Wolfram Alpha viene con? Si se mira hacia abajo hacia la parte inferior de los resultados, se indica que la desaceleración factor es exactamente la proporción del tiempo que toma a caer, que me mostraron cómo calcular arriba, a la vez que se tomaron sin resistencia del aire. Usted puede conseguir el último momento mediante la configuración de $C$, $A$, o $\rho$ a cero, o tomando el límite cuando $m\to\infty$. (¿Tiene sentido ¿por qué todas estas tareas corresponden a hacer el efecto del aire insignificante?) O, por supuesto, usted puede tomar $r\to 0$. Ahora, antes de empezar a preguntarse cómo vas a llegar lejos tomando la raíz cuadrada de $\frac{1}{0}$, usted realmente necesita para tomar un límite, y el límite de $t$ $r\to 0$ está bien definido:
$$t_0 = \lim_{r\to 0}\sqrt{\frac{1}{rg}}\cosh^{-1}\exp[r(h-y)] = \sqrt{\frac{2(h - y)}{g}}$$
La fórmula para el factor de desaceleración es entonces
$$\text{slowdown factor} = \frac{t}{t_0} = \sqrt{\frac{1}{2r(h - y)}}\cosh^{-1}\exp[r(h-y)]$$
Esto sólo depende de que el producto de la "arrastrar relación" $r$ y la altura caído $h - y$. Esencialmente, es una manera de caracterizar cuánto la presencia de la resistencia del aire afecta el tiempo de vuelo.
