Utilizar el Teorema de Cauchy para demostrar que todo elemento de un grupo $G$ es un $k$ -raíz si $(k,|G|)=1$

Question

Todo elemento de un grupo finito $G$ tiene un $k$ -ésima raíz si y sólo si $(k,|G|)= 1$ .

Quiero demostrar esta proposición, estoy tratando de usar esta función que para todo g en G , g lo enviará a $g^k$ y luego usar los teoremas de Cauchy pero necesito ayuda por favor y no sé cómo aplicar el teorema.

Answer 1

Si cada elemento de $G$ tiene un $k$ -th raíz entonces $\phi:G\to G$ definido por $\phi(g)=g^k$ es un mapa suryectivo. Dado que $G$ es un conjunto finito se deduce que $\phi$ es inyectiva y, por tanto, si $g\in G$ es tal que $g^k=e$ lo siguiente $g=e.$ Ahora dejemos que $p\mid k$ y $p\mid |G|$ un número primo. A partir del Teorema de Cauchy existe $x\in G$ de orden $p$ . En particular, $x^p=e$ . Subiendo esto a la $(k/p)^{th}$ potencia que obtenemos $x^k=e$ Así que $x=e$ una contradicción.

Si $(k,|G|)=1$ entonces existe $u,v\in\mathbb Z$ tal que $ku+|G|v=1$ y por lo tanto $g=(g^u)^k$ por cada $g\in G$ .