La función $\beta$ -El truncamiento es medible

Question

Considere un espacio medible $(X,\mathcal{X})$ . Sea $f:X\to\overline{\mathbb{R}}$ sea una función medible extendida de valor real arbitraria sobre $X$ . Para cada número real positivo $\beta$ definir el $\beta$ -truncamiento de $f$ como la función de valor real $f_\beta:X\to\mathbb{R}$ en $X$ definido para cada $x\in X$ por $$f_\beta(x)=\begin{cases}f(x),&\text{if }|f(x)|\leq\beta,\\\beta,&\text{if }f(x)>\beta,\\-\beta,&\text{if }f(x)<-\beta.\end{cases}$$ Demuestra que $f_\beta$ es una función medible.

Tengo esta pregunta en la cabeza desde hace tiempo, pero no se me ocurrió ninguna idea para calcular $f^{-1}_\beta((\alpha,+\infty))=\{x\in X: f_\beta(x)>\alpha\}$ . ¿Podría darme algún consejo?

He conseguido definir los conjuntos $A=f^{-1}((-\infty,\beta])\cap f^{-1}([-\beta,+\infty)),B=f^{-1}((\beta,+\infty))$ y $C=f^{-1}((-\infty,-\beta))$ , a partir de la cual podemos expresar la función $f_\beta$ como $$f_\beta(x)=f(x)\chi_A+\beta\chi_B-\beta\chi_C.$$ Desde $f$ es medible $\Rightarrow$ $A,B$ y $C$ son $\mathcal{X}$ -Medible $\Rightarrow$ $f_\beta$ medible, porque es la suma de funciones de medida.

Answer 1

Un enfoque alternativo:

Definir $g_\beta:\bar{\mathbb{R}} \to \mathbb{R}$ por $$g(x) = \begin{cases} -\beta &\text{ if } x<-\beta\\ x &\text{ if } |x|\leq-\beta\\ \beta &\text{ if } x>\beta \end{cases}.$$

$g_\beta$ es medible porque es continua.

Entonces $f_\beta = g_\beta\circ f$ también es medible, porque es la composición de funciones medibles.