Considere un espacio medible $(X,\mathcal{X})$ . Sea $f:X\to\overline{\mathbb{R}}$ sea una función medible extendida de valor real arbitraria sobre $X$ . Para cada número real positivo $\beta$ definir el $\beta$ -truncamiento de $f$ como la función de valor real $f_\beta:X\to\mathbb{R}$ en $X$ definido para cada $x\in X$ por $$f_\beta(x)=\begin{cases}f(x),&\text{if }|f(x)|\leq\beta,\\\beta,&\text{if }f(x)>\beta,\\-\beta,&\text{if }f(x)<-\beta.\end{cases}$$ Demuestra que $f_\beta$ es una función medible.
Tengo esta pregunta en la cabeza desde hace tiempo, pero no se me ocurrió ninguna idea para calcular $f^{-1}_\beta((\alpha,+\infty))=\{x\in X: f_\beta(x)>\alpha\}$ . ¿Podría darme algún consejo?
He conseguido definir los conjuntos $A=f^{-1}((-\infty,\beta])\cap f^{-1}([-\beta,+\infty)),B=f^{-1}((\beta,+\infty))$ y $C=f^{-1}((-\infty,-\beta))$ , a partir de la cual podemos expresar la función $f_\beta$ como $$f_\beta(x)=f(x)\chi_A+\beta\chi_B-\beta\chi_C.$$ Desde $f$ es medible $\Rightarrow$ $A,B$ y $C$ son $\mathcal{X}$ -Medible $\Rightarrow$ $f_\beta$ medible, porque es la suma de funciones de medida.
