Aproximación de la fdc de la distribución normal estándar

Question

Dejemos que

• $d\in\mathbb N$ con $d>1$
• $\lambda$ denotan la medida de Lebesgue
• $f\in C^2(\mathbb R)$ ser positivo y $g:=\ln f$ con $$I:=\int\left|g'\right|^2\:{\rm d}(f\lambda)=\int\frac{\left|f'\right|^2}f\:{\rm d}\lambda<\infty$$
• $\Phi$ denotan la fdc de la distribución normal estándar
• $\ell>0$

Ahora, dejemos que $$g_d(x):=\frac1{d-1}\sum_{i=2}^d\left|g'(x_i)\right|^2\;\;\;\text{for }x\in\mathbb R^d.$$

Dejemos que $x\in\mathbb R^d$ con $|g_d(x)-I|<d^{-1/8}$ . ¿Podemos demostrar que $$\frac d{d-1}\Phi\left(-\frac{\ell\sqrt{g_d(x)}}2\right)\xrightarrow{d\to\infty}\Phi\left(-\frac{\ell\sqrt I}2\right)\tag1?$$

Answer 1

En realidad, esto se deduce simplemente del hecho de que $|g_d(x) - I| < d^{-1/8}$ ; ya que $\Phi$ es continua en $I$ (de hecho es uniformemente continua), podemos intercambiar los límites.