¿Es el cálculo una parte o sólo un resultado de las matemáticas?

Question

Hay una pregunta que se me ocurrió y que me gustaría discutir aquí. Espero que quede claro lo que quiero expresar ya que el inglés no es mi lengua materna.

Desde que empecé a estudiar matemáticas y física hay una cosa que he notado, especialmente en comparación con los cursos de matemáticas a los que asistí en el Gymnasium (equivalente al instituto). Es la falta de cálculos. Y por cálculo me refiero a cosas como $2+2$ , $\int_a^b dx (f(x)) $

Mientras que en física tengo momentos en los que necesito una calculadora, en matemáticas lo más cerca que he estado es buscando una derivada. Y desde que estoy asistiendo a matemáticas me he encontrado con una visión bastante interesante sobre la relación entre el cálculo y las matemáticas preguntando a otros matemáticos qué piensan de eso.

Es un punto de vista que considera el cálculo como un retoño o incluso sólo un subproducto del trabajo matemático. Un punto de vista que afirma que las matemáticas sólo examinan, definen y comprueban. En cierto modo es como una búsqueda de cosas nuevas dentro de sus límites. En el caso de las operaciones aritméticas simples en $\mathbb{R}$ eso significaría que la verdadera matemática está en la pura construcción de la lógica que hay detrás. Lo mismo ocurre con los problemas de texto de matemáticas que todo el mundo conoce de la escuela secundaria.

Pero, ¿es esta percepción realmente razonable o simplemente demasiado extrema?

Yo diría que, efectivamente, es demasiado extremo. Incluso se pueden necesitar cálculos sencillos para examinar nuevas teorías, probarlas o refutarlas, siendo el ejemplo más evidente encontrar un contraejemplo.

Pero, ¿y si se añade la suposición de que las matemáticas sólo utilizan los cálculos como medio para alcanzar un fin? Eso no excluiría de las matemáticas todos los cálculos prácticos, sino la mayoría de los que se hacen, por ejemplo, en la escuela secundaria o en las matemáticas financieras, la física, etc. Resolver esos problemas de texto de matemáticas en el instituto no sería entonces realmente matemáticas. De alguna manera sería como la relación entre la física y la ingeniería.

¿Qué te parece?

Muchas gracias y se agradece toda respuesta,
FunkyPeanut

(P.D.: No sé qué etiquetas incluir aquí....)

Answer 1

Los cálculos pueden servir como parte del conjunto de un trabajo matemático y en raras ocasiones son el trabajo matemático en sí mismo (algunos contraejemplos muy complicados en el espacio de Banach y $C^*$ -teoría del álgebra han sido así). Por ejemplo, un artículo que acabo de publicar en arXiv tenía algunos cálculos bastante agotadores. Estaba definiendo una familia de operadores integrales en un subconjunto denso de $L^2(\mathbb{R})$ y quería establecer que son isometrías. Esto requería un montón de cálculos realmente desafortunados, pero no había ninguna forma razonable de evitarlo. Entonces, mediante teoremas de extensión, los operadores podían ser elevados a todos los $L^2(\mathbb{R})$ . En general, esto es bastante difícil de hacer y se necesita cierto grado de cálculo. Sin embargo, muchos cálculos no sirven como un verdadero trabajo matemático. Como la mayoría de las cosas en la vida, no hay mucho blanco o negro; todo son matices de gris.

Answer 2

Creo que la pregunta es un poco confusa si no se especifica qué se entiende exactamente por cálculo.

Utilizar el algoritmo de Karatsuba para calcular el producto de dos números naturales no es realmente una parte de las matemáticas. Demostrar que realmente funciona sí lo es. Calcular la integral definida de una función polinómica utilizando las antiderivadas conocidas de los monomios no es matemática, demostrar que las antiderivadas son lo que son y que se pueden utilizar para calcular la integral sí lo es.

En general, evaluar una expresión una vez que tenemos un algoritmo para evaluarla no es matemático, pero desarrollar un algoritmo que lo haga sí lo es (ya sea en general o sólo en algún caso particular). Que utilicemos ordenadores para demostrar el teorema de los cuatro colores no significa que los ordenadores formen parte de las matemáticas. Eso es lo que yo creo.

Por supuesto, a veces tenemos que aplicar algún algoritmo para demostrar algo, pero eso no significa que el cálculo en sí forme parte de las matemáticas. Es que no más que medir la longitud es una parte de la física.

Answer 3

Los cálculos son una herramienta que los matemáticos emplean para determinar lo que es cierto.

Permítanme retroceder. ¿Qué son realmente las matemáticas? Cualquier cosa que se pueda axiomatizar y razonar con precisión entra en el ámbito de las matemáticas. Haciendo La matemática es el razonamiento sobre estos axiomas y sus consecuencias. Por lo tanto, se puede considerar el ajedrez como una matemática, o cualquier resultado de la física que proceda de un conjunto de supuestos (o leyes) a una conclusión simplemente por medio de un argumento lógico. (No todo el mundo está de acuerdo con este punto de vista, por supuesto).

Los cálculos, como digo, son herramientas que ayudan en este proceso. Pero también son conclusiones en sí mismas, ya que se derivan de los axiomas. Sólo demostramos estas cosas una vez y después utilizamos el resultado como un atajo, pero el hecho de hacerlo no las elimina del ámbito de las matemáticas.

En cierto sentido, todos los fines de las matemáticas son medios para otros fines. No hay ninguna cuestión que los matemáticos quieran resolver exclusivamente por sí misma. Siempre hay más preguntas que siguen; siempre queremos saber lo que presagian los próximos resultados, y en algunos casos hacemos argumentos contingentes en previsión de esos resultados.

Una buena analogía podría ser la siguiente: los niños practican la ortografía, el vocabulario y la gramática en la escuela. Pueden surgir nuevas palabras, nuevas convenciones ortográficas e incluso nuevas estructuras gramaticales (en periodos de tiempo más largos). Todo esto forma parte del lenguaje, pero se refiere al desarrollo de las herramientas fundamentales necesarias para comprender el lenguaje e incluso realizar nuevas innovaciones lingüísticas. Representa los objetivos de fluidez y comprensión, y es el medio para el dominio y la comunicación.