Suma de $2^n$ donde $n$ es par o impar

Question

Necesito la fórmula de la suma para lo siguiente:

$2^0+2^1+2^3+2^5+\cdots+2^n$ , $n$ es par, es decir

$2^0+2^2+2^4+2^6+\cdots+2^n$ , $n$ es impar

Soy consciente de que la fórmula de

$2^0+2^1+2^2+2^3+\cdots+2^n = 2^{n+1}-1$ . Pero puede alguien ayudarme con un enfoque para resolver este tipo de problemas.

Answer 1

Una pista: $$\sum_{k=0}^m2^{2k} = \sum_{k=0}^m\left(2^2\right)^{k}$$ y $$\sum_{k=0}^m2^{2k-1} = 2^{-1}\sum_{k=0}^m\left(2^2\right)^{k}$$

Answer 2

Pides una aproximación a este tipo de problemas. El enfoque es: dejar de buscar una fórmula y pensar en técnicas. La técnica para tratar $1+x^2+x^3+\dots+x^n$ es esto. Supongamos que es $S$ . Ahora considere $xS$ . Es lo mismo, salvo que ha perdido un término en la parte delantera y ha ganado uno en la parte trasera. Así que ahora es fácil escribir una fórmula para $S$ .

¿Cómo se aplica eso a $x+x^3+x^5+\dots+x^{2n+1}$ ? ¿Por qué podrías multiplicar la suma para obtener algo casi igual? Respuesta, multiplicar por $x^2$ .

Por supuesto, es útil saber algunas fórmulas de memoria. Así se ahorra tiempo y se tiene algo con lo que trabajar. Pero no es bueno decir que no conozco una fórmula que se ajuste exactamente al nuevo problema, así que me rendiré. La cuestión es si el nuevo problema es similar a algo que ya conozco. Si lo es, ¿cómo podría adaptarlo?

Answer 3

[EDIT] Gracias por aceptar. Este es un enfoque aún más sencillo:

$$\begin{align} S&=2^0+2^2+2^4+ \cdots +2^{2m}\\ &=4^0+4^1+4^2+\cdots +4^m\\ &=\frac 13 (4^{m+1}-1)\end{align}$$

$$\begin{align} S'&=2^1+2^3+2^5+ \cdots +2^{2m+1}\\ &=2(4^0+4^1+4^2+\cdots +4^m)\\ &=\frac 23 (4^{m+1}-1)\end{align}$$

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[RESPUESTA ORIGINAL] Considere el caso en el que $n$ es par, es decir $n=2m$ .

Dejemos que $$\begin{align} S&=2^0+2^2+2^4+\cdots +2^{2m}\\ 2S&=2^1+2^3+2^5+\cdots+2^{2m+1}\end{align}$$

Añadiendo: $$\begin{align}3S&=2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+\cdots+2^{2m+1}\\ &=\sum_{r=0}^{2m+1}2^r\\ &=2^{2m+2}-1\\ S&=\frac 13 \left(2^{2m+2}-1\right)\\ &=\frac 13 \left(4^{m+1}-1\right)\end{align}$$

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Del mismo modo, para el caso en que $n$ es impar, es decir $n=2m+1$ ,

$$\begin{align}S'&=2^1+2^3+2^5+\cdots+2^{2m+1}\\ &=2(2^0+2^2+2^4+\cdots +2^{2m})\\ &=2S\\ &=\frac 23 \left(4^{m+1}-1\right)\end{align}$$