Demuestre que en un grupo metrizable, toda vecindad U del elemento neutro e contiene un barrio V∋e tal que V⋅V−1⊂U , donde V⋅V−1={x⋅y−1;x∈V,y∈V}. Un barrio V∋e se dice que symmetric cuando V=V−1 , donde V−1={x−1;x∈V} . Y demostrar que cada barrio de e contiene una vecindad simétrica .
No se como se consigue este tema si le pueden dar algunos consejos para solucionarlo estaría muy agradecido.
Una vez que sepas que siempre V es una vecindad del elemento de identidad e , también lo es el conjunto V−1={x−1:x∈V} un barrio de e entonces es natural considerar la intersección U=V∩V−1 de ambos barrios.
Ahora trata de demostrar que U es un simétrico barrio de e según sea necesario. Es decir,
(a) Mostrar U es una vecindad de e .
(b) Mostrar x∈U implica x−1∈U .
Me gustaría señalar que esto es sólo utilizando la topología de un grupo (a través de la continuidad de la operación inversa), y por lo tanto es más general que sólo se refiere a metrizable grupos.
Todavía no puedo entender exactamente cómo resolver este problema, no puedo ver las cosas que importan.
¿Entiendes que estoy reclamando U=V∩V−1 es una vecindad simétrica, dado que V es una vecindad de e ? Aplique la definición que ha dado en la pregunta.
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Grupos Metrizable es un espacio métrico G, provisto de una estructura de grupo tal que las operaciones m:G×G→G , m(x,y)=x⋅y y f:G→G , f(x)=x−1 son continuas.