Demuestre que en un grupo metrizable, toda vecindad $U$ del elemento neutro $e$ contiene un barrio $V \ni e $ tal que $V\cdot V^{-1} \subset U$ , donde $V\cdot V^{-1} = \{x\cdot y^{-1}; x\in V, y\in V\}.$ Un barrio $V \ni e $ se dice que $\textbf{symmetric}$ cuando $V = V^{-1}$ , donde $V^{-1}= \{x^{-1}; x\in V\}$ . Y demostrar que cada barrio de $e$ contiene una vecindad simétrica .
No se como se consigue este tema si le pueden dar algunos consejos para solucionarlo estaría muy agradecido.
Una vez que sepas que siempre $V$ es una vecindad del elemento de identidad $e$ , también lo es el conjunto $V^{-1} = \{x^{-1} : x \in V \}$ un barrio de $e$ entonces es natural considerar la intersección $U = V \cap V^{-1}$ de ambos barrios.
Ahora trata de demostrar que $U$ es un simétrico barrio de $e$ según sea necesario. Es decir,
(a) Mostrar $U$ es una vecindad de $e$ .
(b) Mostrar $x \in U$ implica $x^{-1} \in U$ .
Me gustaría señalar que esto es sólo utilizando la topología de un grupo (a través de la continuidad de la operación inversa), y por lo tanto es más general que sólo se refiere a metrizable grupos.
Todavía no puedo entender exactamente cómo resolver este problema, no puedo ver las cosas que importan.
¿Entiendes que estoy reclamando $U = V \cap V^{-1}$ es una vecindad simétrica, dado que $V$ es una vecindad de $e$ ? Aplique la definición que ha dado en la pregunta.
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Grupos Metrizable es un espacio métrico G, provisto de una estructura de grupo tal que las operaciones $m: G\times G \rightarrow G$ , $m(x,y)= x\cdot y$ y $f:G \rightarrow G$ , $f(x)= x^{-1}$ son continuas.