(Reformulación de la parte 1 de El campo electromagnético como conexión en un paquete vectorial )
Estoy buscando una buena notación para secciones de haces vectoriales que sea invariante y referencias a las coordenadas del paquete. ¿Existe una notación estándar para esto?
Antecedentes:
En la mecánica cuántica, la función de onda $\psi(x,t)$ de un electrón se suele introducir como una función $\psi : M \to \mathbb{C}$ donde $M$ es el espacio-tiempo, normalmente $M=\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}$ .
Sin embargo, al modelar el electrón en un campo electromagnético, es mejor pensar en $\psi(x,t)$ como una sección en un $U(1)$ -manejo de vectores $\pi : P \to M$ . En realidad, $\psi(x,t)$ sí mismo no es una sección, es sólo la imagen de una sección en una trivialización local particular $\pi^{-1}(U) \cong U\times\mathbb{C}$ del haz de vectores. En una trivialización local diferente (= un gauge diferente), la imagen será $e^{i\chi(x,t)}\psi(x,t)$ con un factor de fase diferente.
Por desgracia, me siento incómodo con esta anotación. En concreto, preferiría una notación invariante, como la del haz tangente. Para una sección $\vec v$ del haz tangente (= un campo vectorial), puedo escribir $\vec v = v^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu}$ . Esta expresión menciona el coordenadas $v^\mu$ en un sistema de coordenadas concreto, pero también es invariante porque también escribo el vector base $\frac{\partial}{\partial x^\mu}$ del sistema de coordenadas.
La gran ventaja de la notación vectorial es que se ocupa automáticamente de los cambios de coordenadas: $\frac{\partial}{\partial x^\mu} = \frac{\partial}{\partial y^\nu}\frac{\partial y^\nu}{\partial x^\mu}$ .
Mi pregunta:
¿Existe una notación para las secciones de los haces vectoriales que sea similar a la notación $\vec v = v^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu}$ para el haz tangente? ¿Qué aspecto tiene para nuestro ejemplo particular? $\psi$ ?
Si no, ¿cuáles son las anotaciones habituales/estándar para esto? ¿Cómo se registran las coordenadas del paquete?
