¿Por qué tomar un múltiplo constante de la función lineal $(x-a)$ de $f(x)$ necesario en la demostración del teorema del valor medio?

Question

Tengo la siguiente prueba del Teorema del Valor Medio:

Primero tenemos que definir una nueva función. Llamaremos a esta función $g$ .

$$g(x) = f(x)-(x-a)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ para algunos $x \in [a,b]$ .

Aunque la línea anterior pueda parecer inicialmente desalentadora, en realidad simplemente hemos restado un múltiplo constante de la función lineal $(x-a)$ de $f(x)$ y lo etiquetó $g(x)$ . La función $g(x)$ también es continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$ . Además, también podemos ver que: $$g(a) = f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a) = f(a)$$ y $$g(b) = f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a) = f(a)$$ Como podemos ver, $g(a)=g(b)$ , lo que significa $g$ satisface el Teorema de Rolle. Se puede aplicar y ahora sabemos que $g'(\xi)=0$ para algunos $\xi \in (a,b)$ . Ahora podemos escribir: $$g'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ En particular, si tenemos que $g'(\xi)=0$ entonces: $$g'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$$ Naturalmente, esto significa que: $$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ Ahora hemos obtenido lo que deseábamos.

Mi pregunta es: ¿por qué es necesario restar un múltiplo constante de la función lineal $(x-a)$ de $f(x)$ ?

Cualquier ayuda para entender este paso será muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Se hace para poder aplicar el Teorema de Rolle. Se necesita $f(a)=f(b)$ en el Teorema de Rolle y la nueva función $g$ satisface esta propiedad. Obsérvese que si se toma $g(x)=f(x)-c(x-a)$ y usted insiste en $g(a)=g(b)$ se obtiene automáticamente $c=\frac {f(b)-f(a)} {b-a}$ .