Evaluar $\int_{-\infty}^{\infty} \cos{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)} \; \mathrm{d}x$ si es posible

Question

Esto parece una integral de Fresnel, ¿no? Me pregunto si tiene una forma cerrada ( Wolfram Alpha no lo cree así ) $$\int_{-\infty}^\infty \cos \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right) \; \mathrm{d}x$$

¿Quizá alguno de vosotros pueda resolver esta complicación? Cualquier pista o solución es apreciada por mí, ¡gracias! Además, el análisis complejo o real es bueno.

Answer 1

Por el teorema maestro de Glasser y las integrales de Fresnel $$ \int_{\mathbb{R}}\cos\left(\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2\right)\,dx=\int_{\mathbb{R}}\cos(x^2+2)\,dx=\color{red}{\sqrt{\frac{\pi}{2}}\left(\cos(2)-\sin(2)\right)}\approx -1.661198. $$