Si $\sum a_n$ converge entonces $\sum (-1)^n \frac {a_n}{1+a_n^2}$ ¿converge?

Question

¿Podríais darme alguna pista sobre cómo tratar esta cuestión?

Si $\sum a_n$ converge, ¿significa esto necesariamente que $\sum (-1)^n \frac {a_n}{1+a_n^2}$ debe converger también?

Gracias.

Answer 1

Considere $a_n = (-1)^n\cdot \dfrac{1}{n}$ entonces la conclusión no se deduce.

Answer 2

De hecho hay un teorema: si $f$ es una función sobre $\mathbb R$ tal que $\sum_n f(a_n)$ converge siempre que $\sum_n a_n$ converge, entonces $f$ es lineal en una vecindad de $0$ . Esto fue demostrado por G. Wildenberg, American Mathematical Monthly 95 (1988) 542-544. La solución de Y. Benjamini al problema E3404, American Mathematical Monthly 99 (1992) 466-467 contiene una extensión:

Dejemos que $f: X \to Y$ sea un mapeo de espacios normados tal que $\sum_{n=1}^\infty f(a_n)$ converge siempre que $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge (ambos en la topología de la norma). Entonces hay una vecindad de $0$ en el que $f$ es igual a un operador lineal acotado acotado.

Tengo una pequeña extensión adicional (no publicada):

Dejemos que $f: X -> Y$ sea un mapeo de espacios de Banach tal que $\sum_{n=1}^\infty f(a_n)$ converge débilmente siempre que $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge (fuertemente). Entonces existe una vecindad de $0$ en el que $f$ es igual a un operador lineal acotado acotado.