Hw para demostrar que $f_n(x)=\frac{(-1)^n}{nx+\sqrt{n}}$ converge en $\mathbb{R+}$

Question

¡Buenas noches!

Empecé a sutdy series de función y su convergencia. Sin embargo, todavía estoy luchando para saber cómo demostrar que una serie converge.

Quiero demostrar que la siguiente serie definida por $f_n(x)=\frac{(-1)^n}{nx+\sqrt{n}}$ definido en $\mathbb{R+}$ converge débilmente.

Ya lo he dicho:

• $f_n(0)=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\rightarrow 0$
• si no $|f_n(x)|$ es decreciente y converge a 0 y por tanto por la regla de Leibniz, $\sum f_n(x)$ converge débilmente

Pero me pregunto si esto es suficiente, me parece un argumento muy débil solo "ver que es decreciente y converge a 0" para concluir.

Answer 1

Sí, la regla de Leibnitz es suficiente para concluir la convergencia puntual ya que para cada $x$ , se cumple la hipótesis del criterio de Leibnitz. Si quieres estar seguro, escribe para $x\gt 0$ , $$f_n(x)-\frac{(-1)^n}{nx}=(-1)^n\frac{nx-(nx+\sqrt n)}{(nx+\sqrt n)nx}= -(-1)^n\frac 1{(nx+\sqrt n)\sqrt n x};$$ de esta manera, $$f_n(x)=\frac{(-1)^n}{nx}-(-1)^n\frac 1{(nx+\sqrt n)\sqrt n x},$$ y la convergencia de la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}f_n(x)$ se deduce de la de $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{nx}$ (series alternas) y la de $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n 1/\left[(nx+\sqrt n)\sqrt n x\right]$ ya que $$\left|(-1)^n\frac 1{(nx+\sqrt n)\sqrt n x}\right|\leqslant \frac 1{n^{3/2}}.$$