User357151 demostró que esto no es cierto para las métricas equivalentes en general.
Sin embargo, si nos limitamos a las métricas inducidas por normas equivalentes, obtenemos una relación interesante.
Considere $T:V \to V$ , donde $V$ es un espacio vectorial normado con dos normas equivalentes, digamos $||\cdot||_1$ y $||\cdot||_2$ . Entonces, existen algunas constantes positivas $a,b$ tal que:
$$ a ||x||_1 \le ||x||_2 \le b ||x||_1 \text{ for all }x\in V $$
Además, supongamos que $d_1$ y $d_2$ son inducidos por la primera y segunda norma respectivamente, y que tenemos
$$ d_1( T(x), T(y)) \le c d_1(x, y) $$
Tenemos la relación
$$ \begin{align*} d_2(T(x),T(y) ) &\le b\times c \times d_1(x,y) \\ &\le \frac{b}{a} \times c \times d_2(x,y)\\ &= c_* d_2(x,y) \end{align*} $$
con $c_* = \frac{b}{a} \times c$ .
Mi resultado se obtuvo con la ayuda de esta prueba .
De ahí que podamos sospechar que podemos perder las propiedades de contracción si la relación $b/a$ es lo suficientemente grande. Este es efectivamente el caso.
Considere la siguiente función $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ ,
$$f(x) = (.9\max(|x_1|,|x_2|), .9 \max(|x_1|,|x_2|))$$
Entonces $f$ es una contracción bajo la métrica inducida por la norma máxima $d_\infty$ pero no bajo la métrica inducida por la norma de Manhattan $d_1$ .
Sí, es cierto,
$$ \begin{align*} d_\infty( f(x), f(y) ) &= \max( |f_1(x) - f_1(y)|, |f_2(x) - f_2(y)| ) \\ &= .9|\max(|x_1|,|x_2|) - \max(|y_1|,|y_2|)| \\ &\le .9\max(|x_1 - y_1|,|x_2 - y_2|) \\ &= .9 d_\infty(x, y)\end{align*} $$ donde se obtiene la desigualdad de esta relación . Tenga en cuenta que $c = .9$ .
Sin embargo, $f$ no es una contracción para una métrica inducida por la norma de Manhattan $d_1$ . Por ejemplo, tomando $x = (1,0)$ , $y = (0,0)$ tenemos
$$\begin{align*} d_1(x,y) &= 1 + 0 = 1 \\ d_1(f(x),f(y)) &= .9 + .9 = 1.8 \end{align*}$$
lo que demuestra que $f$ no es una contracción.
Nótese que para vectores de longitud 2, las normas de máximo y de Manhattan siguen la siguiente relación,
$$ ||x||_\infty \le ||x||_1 \le 2 ||x||_\infty $$
$b = 2$ y $a = 1$ y así $c_* = 1.8$ .
De la misma manera,
Considere la siguiente función $g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ ,
$$g(x) = (.7(|x_1|+|x_2|), 0)$$
Entonces $g$ es una contracción bajo la métrica inducida por la norma de Manhattan $d_1$ pero no bajo la métrica inducida por la norma máxima $d_\infty$
Tenemos
$$ \begin{align*} d_1(g(x),g(y)) &= .7(||x_1| - |y_1|| + ||x_2| - |y_2||) \\ &\le .7(|x_1 - y_1| + |x_2 - y_2|) \\ &= .7 d_1(x,y) \end{align*} $$
pero conseguimos, con $x = (1,1)$ y $y=(0,0)$ ,
$$d_\infty(g(x),g(y)) = 2 \times .7 = 1.4 d_\infty(x,y)$$
De nuevo, eso es porque
$$ .5||x||_1 \le ||x||_\infty \le ||x||_1 $$
