¿Cómo puedo encontrar todos los subespacios de $\mathbb{F}^n$ que son invariantes bajo $\operatorname{GL}_n(\mathbb{F})$ ?

Question

Dejemos que $n \in \mathbb{N}$ y $\mathbb{F}$ sea un campo. El conjunto de todos los invertibles $n \times n$ matrices sobre $\mathbb{F}$ se denota por $\operatorname{GL}_n(\mathbb{F})$ .

Un subespacio $W$ de $\mathbb{F}^n$ se dice que invariante bajo $\operatorname{GL}_n(\mathbb{F})$ si para todo $A \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{F})$ tenemos que si $x \in W$ entonces $Ax \in W$ . Encuentra todos los subespacios de $\mathbb{F}^n$ que son invariantes bajo $\operatorname{GL}_n(\mathbb{F})$ .

¿Cómo debo solucionar este problema? No tengo ni idea de por dónde empezar, así que pido disculpas por no poder mostrar mi trabajo.

Gracias.

Answer 1

Para cualquier vector fijo no nulo $x \in \mathbb{F}^n,$ podemos ampliar $\{x\}$ a una base $B \subset \mathbb{F}^n$ y dejando que $A_x$ denotan una matriz cuyos vectores columna son los elementos de $B$ y cuyo primer vector columna es $x$ podemos ver [es un ejercicio común] que $A_x \in GL_n(\mathbb{F}).$ La característica clave de esta matriz $A_x$ es que $A_x e_1 = x,$ donde $e_1$ denota el vector con un $1$ en la primera entrada y $0$ en todos los demás.

Y ahora sí que hemos terminado. Si $0 \neq W \subseteq \mathbb{F}^n$ es invariable bajo $GL_n(\mathbb{F}),$ entonces hay alguna $x \in W,$ y para cualquier $y \in \mathbb{F}^n,$ $$y = A_y e_1 = A_y(A_x^{-1}x) = (A_yA_x^{-1})x \in W,$$ demostrando que $\mathbb{F}^n \subseteq W,$ así que $W = \mathbb{F}^n.$

Es decir, los únicos subespacios de $\mathbb{F}^n$ que son invariantes bajo $GL_n(\mathbb{F})$ son los triviales de $\{0\}$ y $\mathbb{F}^n.$