Esto parece una obviedad, pero no estoy seguro de lo que el necesario sentido de "bonito", es para obtener un resultado como este. Me pregunto si no es un teorema de la forma:
Para cualquier <1> de extensión de campo $K/F$, un mapa de $\phi:K\rightarrow F$ que satisface <2> es el campo de la norma (o de seguimiento).
donde <1> podría ser algo como finito, algebraicas, etc., y <2> puede ser cualquier cosa (obviamente no iba a ser diferente <2>'s de la norma y de seguimiento).
El campo de la norma y de seguimiento de existir cuando el $K$ es finita algebraicas extensión de $F$. En este caso, un elemento $\alpha \in K$ puede ser interpretado como un $F$-lineal mapa en $K$ por multiplicación. El campo de la norma es sólo el determinante de a $\alpha$ lineal en el mapa, mientras que la traza es la traza de $\alpha$ lineal en el mapa. Esto produce un evidente la generalización: Norma y seguimiento son parte de una familia de buen mapas, es decir, los coeficientes del polinomio característico de a $\alpha$.
Desde Zev pide un teorema de unicidad en los comentarios, aquí hay uno que muestra tanto los méritos y limitaciones de la polinomio característico como respuesta.
Por simplicidad vamos a $F$ característica 0. Deje $K$ ser un campo de extensión de grado $n$ que es genérico, en el sentido de que el grupo de Galois es $S_n$. Entonces cualquier Galois-invariante polinomio en $\alpha \in K$ y su Galois conjugados, es un polinomio simétrico. El teorema es que el álgebra de polinomios simétricos se genera por la primaria simétrica polinomios, que son exactamente los coeficientes del polinomio característico de a $\alpha$. (Esto es con el hecho de que los autovalores de a $\alpha$ como un mapa de sí mismo y de su Galois conjugados.) En particular, la traza es la única lineales tales mapa hasta un escalar; y cualquier multiplicativo polinomio de este tipo es una potencia de la norma. También puede describir la norma como la última Galois invariante en el polinomio (el de grado $n$), que proporciona a la nueva información.
Pero si el grupo de Galois es menor, entonces el anillo de polinomios invariantes en $\alpha$ y su Galois conjugados es más grande, y cualquiera de estas otras polinomios invariantes también es "agradable". Estos extras son un poco escondido, por el hecho de que, para cualquier grupo de Galois, el seguimiento es todavía la única lineal ejemplo y la norma sigue siendo la única multiplicativo ejemplo.
Bien, la pregunta original fue de tipo abierto. Creo que esta respuesta no cabe en una interpretación de la pregunta, pero tal vez es demasiado estándar y tal vez también hay otras respuestas interesantes.
Aquí es una buena caracterización de la norma la asignación de un número finito de extensión de los campos de $K/k$.
Si $K/k$ es cualquier finito extensión de los campos con el grado $n$, entonces la norma de asignación de $K$ $k$es la única función de $f \colon K \rightarrow k$ satisfacer las tres condiciones siguientes:
1) $f(xy) = f(x)f(y)$ todos los $x$$y$$K$.
2) $f(c) = c^n$ todos los $c$$k$.
3) $f$ es una función polinómica $k$ de grado en la mayoría de las $n$, con lo que quiero decir que hay una base $\{e_1,\dots,e_n\}$ $K/k$ en relación a que $f$ puede ser descrito por un polinomio: hay un polinomio $P(x_1,\dots,x_n)$ $k[x_1,\dots,x_n]$ tal que $f(\sum_{i=1}^n c_ie_i) = P(c_1,\dots,c_n)$ todos los $c_1,\dots,c_n$$k$. (Por ser una función polinómica es independiente de la elección de la base.)
Esto es debido a Harley Flandes. Ver los siguientes dos artículos de su:
La Norma en Función de una expresión Algebraica de Extensión de Campo, Pacífico J. Matemáticas 3 (1953), 103--113.
La Norma en Función de una expresión Algebraica de Extensión de Campo, II, Pacífico J. Matemáticas 5 (1955), 519--528.
Una interesante consecuencia de esta caracterización de la norma, la cual, Flandes, señala, es que da un pulido prueba de la transitividad de la norma: si $K \supset F \supset k$, entonces la función ${\rm N}_{F/k} \circ {\rm N}_{K/F}$ cumple con las tres condiciones que caracterizan ${\rm N}_{K/k}$.
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