Una afirmación relacionada con Hilbert Nullstelensatz

Question

Por la Nullstelensatz de Hilbert sabemos que para cualquier campo $k$ todo ideal maximal de $k[x_1, ..., x_n]$ tiene como campo de residuos una extensión finita de $k$ . También hice un ejercicio que dice: cualquier dominio integral $A$ que es un finito $k$ - El álgebra es un campo.

Luego hay una observación después de este ejercicio que dice: se sigue por el Nullstelensatz de Hilbert y este ejercicio que los ideales primos de $k[x_1, ..., x_n]$ con anillo de residuos finito son los mismos que los ideales máximos de $k[x_1, ..., x_n]$ .

¿Podría alguien explicarme cómo funciona esto?

Answer 1

Si $P$ es un ideal primo, entonces el anillo de residuos $k[x_1,...,x_n]$ es un dominio integral y naturalmente un $k$ -(cocientes de $k$ -por ideales también son $k$ -álgebraS). Así que si suponemos que el anillo de residuos está finitamente generado, entonces tenemos las hipótesis de la segunda por lo que el anillo de residuos es un campo. Es entonces un resultado clásico del álgebra que en un anillo $R$ , $P$ un ideal es máximo si $R/P$ es un campo.