Como la solución de las ecuaciones de Legendre son los polinomios de Legendre $P_n(\mu)$ escriba la solución general para $u(r, \theta)$ .

Question

Estoy trabajando en el problema

Consideremos el estado estacionario de la ecuación del calor en una bola de radio a centrada en el origen. En coordenadas esféricas, la bola ocupa la región $0 \le r \le a$ , $0 \le \theta \le \pi$ y $0 \le \phi < 2\pi$ . Tiene una temperatura determinada $g(\theta)$ impuesta a lo largo de su frontera, que es la esfera de radio $a$ . Dado que la condición de contorno es independiente de $\phi$ podemos suponer que la temperatura en el punto $(r, \theta, \phi)$ en la bola se da como $u(r, \theta)$ que viene dada por la solución del siguiente problema de valor límite,

$$\dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial}{\partial{r}} \left( r^2 \dfrac{\partial{u}}{\partial{r}} \right) + \dfrac{1}{r^2 \sin(\theta)} \dfrac{\partial}{\partial{\theta}} \left( \sin(\theta) \dfrac{\partial{u}}{\partial{\theta}} \right) = 0,$$

con condiciones de contorno

$u(a, \theta) = g(\theta)$ para $0 \theta \pi$ .

(i) Demuestre que la separación de variables $u(r, \theta) = R(r)S(\theta)$ conduce a las ecuaciones

$$\dfrac{1}{\sin(\theta)} \dfrac{d}{d \theta} \left( \sin(\theta) \dfrac{dS}{d \theta} \right) + \lambda S = 0$$

y

$$(r^2 R')' - \lambda R = 0$$

(ii) Ahora dejemos que $\lambda = n(n + 1)$ para $n = 0,1,2,3, \dots$ y que $\mu = \cos(\theta)$ transforme la EDO para $S(\theta)$ a la siguiente ecuación de Legendre:

$$(1 - \mu^2) \dfrac{\partial^2{S}}{\partial{\mu}^2} - 2\mu \dfrac{dS}{d \mu} + n(n + 1)S = 0$$

(iii) Resolver la ecuación diferencial para $R$ para cada valor propio $\lambda n = n(n + 1)$ . (Sugerencia: Intente $R = Ar^m$ .)

(iv) Dada la solución de las ecuaciones de Legendre son los polinomios de Legendre $P_n(\mu) = P_n(\cos())$ escriba la solución general para $u(r, \theta)$ como una serie infinita.

Estoy atascado en (iv) y no entiendo cómo hacerlo. No tengo mucha experiencia con los polinomios de Legendre, así que probablemente esta sea la razón. Mi libro de texto tampoco tiene soluciones, así que estoy totalmente atascado. Estaría muy agradecido si alguien pudiera por favor tomarse el tiempo para explicar lo que (iv) está pidiendo y mostrar cómo (iv) se hace. ¡Muchas gracias por su ayuda!

Answer 1

Tiene una notación ligeramente diferente a la de mi libro. Sólo voy a escribir aquí. El estado estacionario de la ecuación del calor es la ecuación de Laplace.

Deberíamos obtener esta ecuación.

$$ \nabla^{2}u = 0 \tag{1} $$

con condiciones de contorno

$$ u(a,\theta, \phi) = F(\theta,\phi) \tag{2} $$

que se corresponde con lo que decías. Deberías obtener una serie infinita como esta

$$ u(r,\theta, \phi) =\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=m}^{\infty} \rho^{n}\big[ A_{mn} \cos(m\theta) + B_{mn} \sin(m\theta) \big] P_{n}^{m}(\cos(\phi)) \tag{3}$$

la condición de contorno no homogénea da

$$ F(\theta,\phi) =\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=m}^{\infty} a^{n}\big[ A_{mn} \cos(m\theta) + B_{mn} \sin(m\theta) \big] P_{n}^{m}(\cos(\phi)) \tag{4}$$

para encontrar los coeficientes, utilizamos la ortogonalidad.

$$ a^{n}B_{mn} = \frac{\iint F(\theta,\phi)\sin(m\theta) P_{n}^{m}(\cos\phi) \sin(\phi)d \phi d\theta }{\iint \sin^{2}(m\theta)[P_{n}^{m}(\cos(\phi))]^{2} \sin(\phi) d\phi d\theta } \tag{5} $$

por el mismo método encontramos $A_{mn}$

$$ a^{n}A_{mn} = \frac{\iint F(\theta,\phi)\cos(m\theta) P_{n}^{m}(\cos\phi) \cos(\phi)d \phi d\theta }{\iint \cos^{2}(m\theta)[P_{n}^{m}(\cos(\phi))]^{2} \cos(\phi) d\phi d\theta } \tag{6} $$

en tu caso, simplemente tendrías

$$ u(a,\theta ) = g(\theta) \tag{7} $$

Tenga en cuenta que $g(\theta)$ no es una función de $\phi$ así que $$ g(\theta) =\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=m}^{\infty} a^{n}\big[ A_{mn} \cos(m\theta) + B_{mn} \sin(m\theta) \big] \tag{8}$$

Así que cuando resolvemos para $A_{mn}, B_{mn}$

$$ a^{n}B_{mn} = \frac{\int_{0}^{\pi} g(\theta)\sin(m\theta) d\theta }{\int_{0}^{\pi} \sin^{2}(m\theta) d\theta } \tag{9} $$

$$ a^{n}A_{mn} = \frac{\int_{0}^{\pi} g(\theta)\cos(m\theta) d\theta }{\int_{0}^{\pi} \cos^{2}(m\theta) d\theta } \tag{10} $$

Deberían haber existido condiciones de contorno en las integrales para averiguar la normalización. Es decir

$$ B_{00} = \frac{\int_{0}^{\pi} g(\theta) \cdot 0 d\theta }{\int_{0}^{\pi} 0 d\theta } \tag{11} $$

Lo que significa $ B_{00} $ puede ser cualquier cosa. Sin embargo, esto no debería importar para $A_{00}$ Pruébalo. Bien. Ahora deberías ser capaz de obtener una parte de normalización real ya que tienes límites integrales definidos.

$$ A_{00} = \frac{\int_{0}^{\pi} g(\theta) \cdot 1 d\theta }{\int_{0}^{\pi} \cdot 1 d\theta } \tag{12} $$

Intento decir que este coeficiente en el fondo es una función de $m$ y en $m=0$ es igual a $\pi$

$$ A_{00} = \frac{\int_{0}^{\pi} g(\theta) \cdot 1d\theta } {\pi } \tag{13} $$

Es "normalizando" la parte superior integral