Rectángulo en coordenadas polares

Question

Supongamos que tenemos $D=[-a,a]\times [-b,b]\subseteq \mathbb{R}^{2}$ . ¿Cómo puedo transformar esa región en una nueva región descrita por coordenadas polares?

Si empezamos haciendo una gráfica, podemos ver que la gráfica será una región rectangular que puede ser dividida por las diagonales del rectángulo en 4 triángulos isósceles. Así que la región en polar puede escribirse como 4 regiones en coordenadas polares y una de ellas es de la forma $$D_{1}=\{(r,\theta): \theta\in [-\arctan(b/a),+\arctan(b/a)]; r\in [0,a/\cos(\theta)] =D_{3}$$ $$D_{2}=\{(r,\theta): \theta\in [-\arctan(a/b),+\arctan(a/b)]; r\in [0,b/\cos(\theta)]=D_{4}$$

¿Es correcto? ¿Las demás regiones tendrían un esquema similar o debería cambiar el enfoque?

Answer 1

Siempre expresamos la gama de $\theta$ con respecto al positivo $x$ eje. En $D_2$ , observe que el ángulo $\beta=2\arctan(a/b)$ se distribuye simétricamente en torno al positivo $y$ eje, es decir $\theta=\pi/2$ con respecto al positivo $x$ eje. Así que el rango de $\theta$ sería $[\pi/2-\arctan(a/b),\pi/2+\arctan(a/b)]$ con respecto a $x$ eje.

Para la gama de $r$ , tenga en cuenta que $y=b\implies r\sin\theta=b$ dando $r\in[0,b/\sin\theta]$ .

$$D_2=\{(r,\theta):r\in[0,b/\sin\theta],\theta\in[\pi/2-\arctan(a/b),\pi/2+\arctan(a/b)]\}$$

Obsérvese además que, debido a la simetría de la región, un simple ajuste en la ecuación para $D_2$ te conseguiría $D_2\cup D_4$ si los valores negativos de $r$ están permitidos. $$D_2\cup D_4=\{(r,\theta):-b/\sin\theta\le r\le b/\sin\theta, \theta\in[\pi/2-\arctan(a/b),\pi/2+\arctan(a/b)]\}$$ y del mismo modo se puede ajustar $D_1$ para incluir $D_3$ .