Puntos cerrados pero no racionales de una cúbica real

Question

En el Libro Rojo de Variedades y Esquemas de Mumford, página 102, dio el ejemplo de los puntos cerrados pero no racionales (es decir, puntos que tienen como campo residuo el campo complejo y no el campo real) de la cúbica $y^2=x^3x$ en el campo real : Tengo algunas dificultades para recuperar por métodos elementales la figura que trazó.

Especialmente, parece implicar que estos puntos cerrados formaban la región $y^2>x^3x$ en el plano real (que se parece al cilindro que él imaginó en el plano proyectivo). ¿Puede alguien darme una explicación sencilla? (Supongo que los ideales máximos del espectro del álgebra definida por la cúbica tienen que estar parametrizados de la forma correcta).

Answer 1

No sé lo que Mumford tenía en mente, pero aquí (con cierto detalle) hay una forma de identificar topológicamente este espacio con un cilindro.

Dejemos que $C$ sea nuestra curva cúbica proyectiva con ecuación afín $y^2=x^3-x$ . Estamos considerando pares de puntos complejos conjugados en $C$ , es decir, los pares $\{(x,y), (\bar x,\bar y)\}$ de soluciones de $y^2=x^3-x$ . Aunque esos puntos no son reales, la línea que los une es real: hay números reales $a,b,c$ , no todo cero, tal que la línea $l_{a,b,c}: aX + bY + c = 0$ pasa a través de $(x,y)$ y $(\bar x, \bar y)$ y el vector de coeficientes $(a,b,c)$ se determina de forma única hasta la multiplicación por un escalar no nulo. Es decir, $(a:b:c)$ es un punto bien definido en el "plano proyectivo dual" ${\bf P}^*$ de líneas en el plano proyectivo con coordenadas $(x:y:1)$ donde $C$ vidas. Ahora bien, estos puntos $(x,y)$ y $(\bar x, \bar y)$ están en $l_{a,b,c} \cap C$ que contiene tres puntos en total, por lo que hay un tercer punto $(x_0,y_0) =: p_0$ necesariamente real. A la inversa, cualquier línea $l$ se encuentra con $C$ en al menos un punto real, y si sólo hay un punto de este tipo (y $l$ no es tangente a $C$ en ese punto) entonces los otros dos puntos de $l \cap C$ constituyen un punto cerrado pero no racional de $C$ .

Eso es,

el espacio que buscamos es homeomorfo con el subconjunto, llámalo $S$ de ${\bf P}^*$ que consiste en líneas cuya intersección real con $C$ con multiplicidad, tiene tamaño $1$

frente al tamaño $3$ .

Una forma de describir $S$ es comenzar desde $p_0 = (x_0,y_0)$ . Es geométricamente claro que este punto debe estar en la componente infinita de $C$ Llámalo $C_0$ El otro componente $C_1$ es una curva cerrada en el plano afín ${\bf R}^2$ , por lo que cualquier línea se encuentra con ella con multiplicidad total par. Dado $p_0$ las líneas que atraviesan $p_0$ constituyen una línea proyectiva real, que es topológicamente un círculo y las líneas que pasan por $p_0$ que cumplen $C_0$ en otros dos puntos $q,q'$ constituyen la unión de dos arcos cerrados, uno para las líneas donde $q,q' \in C_0$ y la otra para las líneas en las que $q,q' \in C_1$ . [Los puntos límite corresponden a los cuatro puntos $q$ cuya tangente pasa por $p$ que son las soluciones de $2q=-p$ en la ley de grupos de $C$ .] Así que las líneas a través de $p_0$ en $S$ constituyen dos intervalos abiertos. Ahora la sutileza es que cuando $p_0$ rodea la curva cerrada $C_0$ Estos dos intervalos cambian a medida que cada uno de los puntos límite hace un ciclo completo alrededor de $C_0$ o $C_1$ , por lo que debemos atravesar $C_0$ dos veces para atravesar nuestro cilindro una vez. En efecto, obtenemos una banda de Möbius cortada por la mitad, que es efectivamente un cilindro (con un "giro completo", es cierto, pero eso es un artefacto de la incrustación en el espacio tridimensional que utilizamos para visualizar $S$ ).

Para un tipo diferente de imagen explícita de $S$ En el caso de un polinomio cúbico real, se observa que tiene una raíz real (con multiplicidad) si y sólo si su discriminante es negativo. Así que podemos describir $S$ mediante la eliminación de las variables de $aX+bY+c=0$ , sustituyendo en $Y^2=X^3-X$ calculando el discriminante $\Delta$ de la cúbica resultante, y trazando la región $\Delta < 0$ . Por ejemplo, en la pieza afín $b \neq 0$ de ${\bf P}^*$ podemos establecer $b=1$ , computa $Y = -(aX+c)$ , encontrar que $$ \Delta = -27c^4 - 4(ac)^3 + 30(ac)^2 + 4 a^5 c + 24 ac + a^4 + 4 $$ (No prometí que sería bonito), y pregunta a www.wolframalpha.com

plot(-27*c^4-4*a^3*c^3+30*a^2*c^2+4*a^5*c+24*a*c+a^4+4 < 0)

para obtener una imagen con dos componentes azules que se unen en el infinito para formar un cilindro topológico:

(fuente)

[Las dos cúspides visibles provienen de los puntos de inflexión donde $p=q=q'$ que son puntos reales de 3 torsiones en $C$ ; hay una tercera singularidad de este tipo en el infinito. Esto significa que de las dos componentes del límite de $S$ (parecen cuatro pero se emparejan en el infinito) la que contiene las cúspides es $C_0$ y la otra es $C_1$ .] Pruebe también

plot(-27*c^4-4*a^3*c^3-30*a^2*c^2+(24*a-4*a^5)*c+a^4-4 < 0)

para la imagen que surge de la curva $y^2=x^3+x$ con un solo componente real; esta vez es una banda de Möbius incrustada en ${\bf P}^*$ para que su límite y su complemento tengan sólo una componente cada uno:

(fuente)

Para conectar esto con la imagen habitual (pero menos elemental) de una curva elíptica sobre ${\bf C}$ como un toroide complejo: como Lubin observado, el complejo locus de $C$ es isomorfa como superficie de Riemann con ${\bf C} / L$ donde $L$ es la red gaussiana ${\bf Z} + {\bf Z} i$ Esto es consistente con la conjugación compleja, y el locus real consiste en los cosets mod $L$ de los números complejos de parte imaginaria integral o semi-integral, que constituyen los componentes $C_0$ y $C_1$ respectivamente. Buscamos identificar los pares conjugados $\{(z,\bar z)\} \bmod L$ con un cilindro; en términos de la ley de grupo el punto real $p_0$ asociado arriba a $\{(z,\bar z)\}$ es $-2 \phantom. {\rm Re}(z)$ que, como antes, sólo puede estar en $C_0$ y da la vuelta a $C_0$ dos veces (y en sentido contrario, como sucede) como $z$ da una vuelta al cilindro.

Answer 2

Partiendo siempre del conocimiento de que un punto cerrado sobre $\mathbb{R}$ es un $\mathbb{R}$ -punto racional o un par de conjugados $\mathbb{C}$ -puntos racionales, pensemos en un punto complejo $P=(z,w)$ junto con su conjugado $\overline P$ si es necesario, y llame a $z=a+bi$ , $w=c+di$ . Entonces su ideal máximo correspondiente a $P$ es $(x^2-2ax+a^2+b^2,y^2-2cy+c^2+d^2)$ con formas especiales en caso de que $z$ o $w$ es real, por ejemplo $(x-a,y^2-2cy+c^2+d^2)$ por si acaso $z$ es real pero no $w$ . Por supuesto, la condición de que $w^2=z^3-z$ se expresa mediante un par de ecuaciones en las variables reales $a,b,c,d$ , a saber $a + c^2 - d^2 - a^3 + 3ab^2=0$ y $b + 2cd - 3a^2b + b^3=0$ , de los que no he obtenido mucha ayuda, aunque los he mirado largo y tendido con la esperanza de verificar tu muy interesante visión sobre la región limítrofe $S=\lbrace (x,y):y^2 \ge x^3-x\rbrace$ . Si quiere una superficie en $\mathbb{R}^3$ para mirar, puedes tomar los puntos $(a,c,b^2+d^2)$ con las dos condiciones anteriores. Su intersección con el plano $(\*,\*,0)$ es sólo el lugar de los puntos reales-racionales, pero su proyección sobre ese plano no es su región $S$ . Obsérvese que los puntos conjugados tienen la misma imagen bajo este mapeo, y los puntos no conjugados tienen imágenes diferentes.

La edición del Libro Rojo de Mumford que estoy viendo no apoya su suposición sobre $S$ En mi opinión, aunque como espacio topológico con frontera, $S$ tiene razón. Tal vez haya un argumento trascendental que justifique su visión, utilizando el $\wp$ -para la red correspondiente.