Cómo justificamos la diferenciación bajo la integral de Poisson Integral

Question

Definir $f(x,y)=(f*P_y)(x)$ , donde $P_y(x)=\frac{1}{\pi}\frac{y}{y^2+x^2}$ , $y>0$ es el núcleo de Poisson. ( $f$ está en $L^p$ para algunos $1\leq p\leq\infty$ .)

En otras palabras, $f(x,y)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty f(t)\frac{y}{y^2+(x-t)^2}\,dt$ .

Me gustaría probar $\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=\int_{-\infty}^\infty f(t)\frac{\partial}{\partial x}P_y(x-t)\,dt$ es decir, diferenciar bajo el signo integral.

¿Cómo justificamos la diferenciación bajo signo integral? Sé que tiene algo que ver con el Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue, pero me cuesta encontrar algo que domine la derivada parcial.

Mi mejor intento fue conseguir $\begin{align*} \sup_{x\in\mathbb{R}}|\frac{\partial}{\partial x}P_y(x-t)|\leq C/y^2 \end{align*}$ para alguna constante $C$ (utilizando cálculos de cálculo). Sin embargo, parece que esto no sirve para satisfacer el SES de Lebesgue.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Se trabaja localmente, y se encuentran funciones dominantes para $x$ y $y$ en rangos específicos. Empezamos por ver el integrando

$$h(t,x,y) = f(t)\cdot \frac{y}{y^2 + (x-t)^2}$$

y su derivada parcial

$$\frac{\partial h}{\partial x}(t,x,y) = f(t) \cdot \frac{1}{y^2 + (x-t)^2}\cdot \frac{2y(t-x)}{y^2+(x-t)^2}.$$

El último factor tiene un módulo limitado por $1$ ( $2\lvert ab\rvert \leqslant a^2 + b^2$ ), por lo que obtenemos la desigualdad

$$\biggl\lvert \frac{\partial h}{\partial x}(t,x,y)\biggr\rvert \leqslant \frac{\lvert f(t)\rvert}{y^2 + (x-t)^2}.$$

Ahora fijamos la arbitrariedad $\delta > 0$ y $R > 0$ y observe que para $y \geqslant \delta$ y $\lvert x\rvert \leqslant R$ tenemos

$$\biggl\lvert \frac{\partial h}{\partial x}(t,x,y)\biggr\rvert \leqslant \frac{\lvert f(t)\rvert}{\delta^2 + (\max \{\lvert t\rvert - R, 0\})^2},$$

y esta última función pertenece a $L^1(\mathbb{R})$ desde $\frac{1}{\delta^2 + (\max \{\lvert t\rvert - R, 0\})^2} \in L^1(\mathbb{R}) \cap L^\infty(\mathbb{R})$ .

Dado que las regiones $\{(x,y) : y \geqslant \delta \land \lvert x\rvert \leqslant R\}$ agotan el semiplano superior, la integral de Poisson puede diferenciarse (con respecto a $x$ pero el argumento para $\partial/\partial y$ es similar) bajo la integral en todo el semiplano superior (abierto).