Estaba trabajando en Smullyan's Diagonalización y autorreferencia (1994). En el capítulo 9 (p. 168), define la noción de débilmente adecuado La numeración de Gödel es la siguiente:
Dejemos que $\mathscr{L}$ sea un lenguaje de primer orden y $g$ sea una numeración de Gödel. $g$ es débilmente adecuada si se cumplen las dos condiciones siguientes.
Existe una relación $C(x,y,z)$ expresable en $\mathscr{L}$ tal que para cualquier expresión $X$ y $Y$ con los respectivos números de Gödel $x$ y $y$ la relación $C(x,y,z)$ se mantiene si y sólo si $z$ es el número de Gödel de $XY$ .
Existe una relación $N(x,y)$ tal que para cualquier Número de Gödel $x$ la relación $N(x,y)$ se mantiene si y sólo si $y=\bar{x}$ .
La primera condición parece estar bien. A grandes rasgos, significa que la relación sintáctica " $Z$ es la concatenación de $X$ y $Y$ "es expresable en $\mathscr{L}$ , donde $Z$ es una expresión con el número de Gödel $z$ .
Pero me cuesta entender la segunda condición. He aquí la razón. Smullyan utiliza $\bar{x}$ para referirse al número que denota $x$ en $\mathscr{L}$ . Pero, ¿qué significa que un número sea un símbolo? Así que me parece que la condición 2 debería reformularse como
2'. Existe una relación $N(x,y)$ tal que para cualquier Número de Gödel $x$ la relación $N(x,y)$ se mantiene si y sólo si $y$ es el número de Gödel de $\bar{x}$ .
¿Me estoy perdiendo algo? Gracias por su ayuda de antemano.
