agujero en una función continua

Question

Digamos que f(x)= x+1.

Ahora $\lim \limits_{x \to 1}$ f(x), podemos ver fácilmente que no hay ningún agujero en ella o que es continua en todas partes. Ya que es una línea recta.

Pero cuando escribimos la misma f(x) como

f(x) = x+1 = (x+1)(x-1)/(x-1) = $(x^2-1)/(x-1)$ .

$$\text{Or say g(x) }= (x^2-1)/(x-1)$$

es decir $\lim \limits_{x \to 1} g(x)=\lim \limits_{x \to 1}(x^2-1)/(x-1)$

En este sitio https://www.mathsisfun.com/calculus/limits.html dice que g(x) tiene un agujero en x=1. Pero no es que tanto f(x) como g(x) son iguales. Por favor, explíquelo. Gracias.

Answer 1

Una función no es sólo una expresión. También tiene un dominio (y normalmente un codominio, aunque eso es menos importante para esta discusión). A menudo, cuando escribimos una función como una expresión, asumimos implícitamente que el dominio es tan grande como podría ser dada la expresión que tenemos, en lugar de declarar el dominio explícitamente. Esto es una mala práctica, pero es lo que es.

Teniendo en cuenta esto, el dominio implícito para $f$ es toda la recta de los números reales, mientras que el dominio implícito para $g$ es la línea de números enteros excepto $1$ . Cuando se restringe al dominio de $g$ En efecto, las dos son la misma función, pero la diferencia de dominios hace que no sean iguales.