Dejemos que $S \to X$ ser un $S^3$ -sobre una variedad lisa $X$ . Si $S$ es una variedad orientada, ¿admite este haz de fibras la estructura de un $SU(2)$ -¿Principal paquete?
Existe un teorema similar para el caso de los haces de círculos y se demuestra en el libro de Morita sobre formas diferenciales. Desgraciadamente, no veo la forma de extender su argumento a este caso y no discute $SU(2)$ -principales paquetes en detalle.
No. (La idea principal aquí está presente en el comentario de Dylan Wilson).
Cada director $SU(2)$ -Acabar con el paquete $S^2$ es trivial, porque $\pi_1 SU(2)$ es trivial. Pero hay un haz orientado no trivial sobre $S^2$ con fibra $S^3$ es decir, el haz unitario de la esfera del rango no trivial $4$ paquete de vectores. (Hay precisamente dos rangos $r$ haces vectoriales orientados sobre $S^2$ si $r\ge 3$ porque $\pi_1 SO(r)$ tiene la orden dos).
Debería explicar por qué el haz vectorial no trivial tiene un haz de esfera unitario no trivial, es decir, por qué $\pi_1 SO(4)$ inyecta en $\pi_1 SDiff(S^3)$ .
Se puede utilizar el gran teorema de Hatcher ("Conjetura de Smale"), que dice que $\pi_k SO(4)$ mapea isomórficamente a $\pi_k SDiff(S^3)$ para todos $k$ .
Alternativamente, puede utilizar que el paquete es detectado por la clase Stiefel-Whitney $w_2$ y que las clases de Stiefel-Whitney de los haces vectoriales son invariantes bajo la equivalencia de homotopía de fibra del haz de esfera unitario.
O puede utilizar $\pi_3$ en lugar de $\pi_1$ como sugirió Dylan Wilson, haciendo un paquete sobre $S^4$ ; hay elementos de $\pi_3 SO(4)\cong \mathbb Z\times \mathbb Z$ no viene de $\pi_3 SU(2)\cong\mathbb Z$ . De nuevo, el haz de esferas resultante no es trivial, ya sea por el teorema de Hatcher o por el uso de clases características. No estoy seguro de cuál sería la versión más elemental del argumento de las clases características.
Un ejemplo de rango $4$ haz vectorial real sobre $S^4$ ¡que no admite una estructura compleja es el haz tangente!
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