¿Freyd-Mitchell para categorías trianguladas?

Question

¿Existe un análogo agradable del teorema de Freyd-Mitchell para categorías trianguladas (potencialmente con algunos requisitos)? Freyd-Mitchell es el teorema que dice que cualquier categoría abeliana pequeña es una incrustación exacta totalmente fiel en la categoría de módulos de algún anillo.

Por lo tanto, me gustaría un teorema como este: Cualquier categoría triangulada pequeña es una subcategoría triangulada totalmente fiel de la categoría derivada no limitada de módulos sobre algún anillo.

Mi opinión es que esto no es cierto, por razones similares a las de que una categoría triangulada no siempre es la categoría derivada de su núcleo. ¿Hay algún ejemplo sencillo de esto? -y- ¿Existe un conjunto de propiedades que sí impliquen el teorema anterior?

Answer 1

La categoría homotópica estable no es equivalente a la categoría derivada de un anillo, y existen otras numerosas categorías trianguladas "homotópicas" que definitivamente no proceden del álgebra. También hay algunos ejemplos extraños derivados del álgebra que no son categorías derivadas.

Véase "Categorías trianguladas sin modelos" de Muro-Schwede-Strickland ( arXiv ) para un buen debate.

Answer 2

Hay algunas cosas como las que pides pero como señala Tyler hay que restringir las categorías que se pueden considerar.

Cualquier categoría algebraica triangulada que esté bien generada es equivalente a una localización de la categoría derivada de una pequeña categoría DG - este es un teorema de Porta (ref es M. Porta, The Popescu-Gabriel theorem for triangulated categories. arXiv:0706.4458). Aquí algebraico (en el sentido de Keller) significa que la categoría es equivalente como categoría triangulada a la categoría estable de una categoría de Frobenius (Schwede tiene un artículo sobre esto también dando condiciones en términos de objetos de tipo Koszul).

Una respuesta (quizá más cercana a lo que preguntas) es la siguiente. Si uno tiene una categoría abeliana de Grothendieck, Gabriel-Popescu le dice que procede de una teoría de torsión sobre alguna categoría de módulos. Resulta que esto se eleva al nivel de las categorías derivadas, de modo que uno puede ver la categoría derivada de una categoría abeliana de Grothendieck como una localización de la categoría derivada de módulos R para algún R (en particular, viene con una incrustación totalmente fiel en la categoría derivada de módulos R).

Answer 3

No sé si esto es pertinente, pero Freyd realidad demostró que cada pequeño triangular categoría tiene un abelian de la envolvente. Es decir, puede incrustar un triangular categoría en un abelian categoría, de hecho un Frobenius de la categoría, donde los nidos categoría es la categoría de projectives=injectives. Yo creo que él introdujo esta construcción en el mismo papel, en 1965, más o menos, en algunos de La Jolla, en actas de la conferencia, en la que presentó la generación de hipótesis de la estabilidad de homotopy teoría. También aparece en Amnón Neeman del libro en categorías trianguladas, estoy bastante seguro.

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