Consideremos el mapa canónico de $GL_2(\mathbb{R})$ el grupo de los invertibles $2 \times 2$ matrices, al grupo $PGL_1(\mathbb{R})$ el grupo de transformaciones lineales proyectivas $\mathbb{P}^1_{\mathbb{R}} \to \mathbb{P}^1_{\mathbb{R}}$ : $$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mapsto \left(x \mapsto \frac{ax+b}{cx+d}\right). $$ Entonces cada matriz $\begin{pmatrix} a_i & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ corresponde a la transformación $x \mapsto a_i + \frac{1}{x}$ . Por lo tanto, su producto corresponde a la composición $$ x \mapsto a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{\ddots + \frac{1}{a_n + \frac{1}{x}}}}. $$ Supongamos que el producto de la matriz es $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ . Entonces la función anterior sería igual a $\frac{ax+b}{cx+d}$ . Ahora, si sustituimos $x := 0$ obtenemos $$ \frac{b}{d} = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{\ddots + \frac{1}{a_{n-1}}}} = \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}. $$ Por otro lado, si sustituimos $x := \infty$ obtenemos $$ \frac{a}{c} = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{\ddots + \frac{1}{a_n}}} = \frac{p_n}{q_n}. $$
Pero además, como los determinantes son multiplicativos, vemos que el producto de matrices tiene determinante $ad - bc = \prod_{i=0}^n (a_i \cdot 0 - 1 \cdot 1) = (-1)^{n+1}$ . De ello se desprende que $a$ y $c$ son relativamente primos, al igual que $b$ y $d$ . Como también sabemos que $a,b,c,d$ son todos enteros no negativos, se obtiene el resultado deseado.
Otra forma de ver lo que hace este argumento, de forma más elemental: primero calcular que si
$$ \begin{pmatrix} a_i & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}, $$ entonces $\frac{c}{d} = a_i + \frac{1}{\frac{a}{b}}$ .
Ahora, si empezamos a multiplicar $$ \begin{pmatrix} a_0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdots \begin{pmatrix} a_{n-1} & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_n & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$ de la derecha a la izquierda, entonces el primer producto da como resultado $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ el segundo producto da como resultado $\begin{pmatrix} a_{n-1} \\ 1 \end{pmatrix}$ el tercer producto da como resultado un vector cuyas entradas tienen relación $a_{n-2} + \frac{1}{a_{n-1}}$ y así sucesivamente. Por lo tanto, el producto global da como resultado un vector cuyas entradas tienen relación $\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}$ . Del mismo modo, si sustituimos $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ arriba con $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ entonces el primer producto da como resultado $\begin{pmatrix} a_n \\ 1 \end{pmatrix}$ el segundo producto da como resultado un vector cuyas entradas tienen relación $a_{n-1} + \frac{1}{a_n}$ y así sucesivamente. Por lo tanto, el producto global da como resultado un vector cuyas entradas tienen relación $\frac{p_n}{q_n}$ .
Sin embargo, éstas son sólo las columnas de la matriz del producto. Ahora, como en el caso anterior, consideramos los determinantes para mostrar que las columnas tienen entradas que son números enteros no negativos relativamente primos, por lo que la matriz producto debe tener la forma deseada.
