Resolver $\{(\frac{dy}{dx})^2+1\}(x-y)^2=(x+y\frac{dy}{dx})^2$

Question

La pregunta es la siguiente:

Resolver $\{(\frac{dy}{dx})^2+1\}(x-y)^2=(x+y\frac{dy}{dx})^2$ .

¿Podemos reducirlo a la forma de Clairaut mediante la sustitución adecuada? Por favor, ayuda.

Answer 1

¿Por qué crees que se puede reducir a una forma de EDO de Clairaut para resolverla?

$$\{(\frac{dy}{dx})^2+1\}(1-\frac{y}{x})^2=(1+\frac{y}{x}\frac{dy}{dx})^2$$ Obviamente se trata de una EDO de tipo homogéneo. La forma habitual de resolverla es un cambio de función : $u=\frac{y}{x}$

$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$

Introduciéndolo en la EDO y resolviéndolo para $\frac{du}{dx}$ conduce a :

$$\frac{du}{dx}=\frac{ -2u^2 \pm (u-1)\sqrt{2u} }{x(2u-1)}$$

$$\int \frac{dx}{x}=\int{\frac{2u-1}{-2u^2 \pm (u-1)\sqrt{2u}}}$$ Tras la integración y la exponenciación : $$x=\frac{c}{u+1\pm \sqrt{2u}}$$ Resolverlo para $u$ da : $$u=\frac{c\pm\sqrt{-x^2+2cx}}{x}$$ y finalmente la solución : $$y=c\pm\sqrt{-x^2+2cx}$$ o, expresado en forma implícita : $$(y-c)^2+(x-c)^2=c^2$$

Answer 2

SUGERENCIA:

$$ 2 \sqrt {(1 +{\frac{dy}{dx} })^2 } (x-y) = \frac{d(x^2+y^2)}{dx} $$

Intenta algunas simplificaciones con:

$ x= r \cos t, y = r \sin t. $

Answer 3

Es un poco complicado pero, aquí está mi solución:

1. set $p= \frac{dy}{dx}=y'$

   $(p^2+1)(x-y)^2 = (x+yp)^2$

2. sacar la raíz cuadrada de todo

   $\sqrt{(p^2+1)}|(x-y)| = |(x+yp)|$

3. tomar un caso en el que $x-y > 0$ y $x +yp > 0$ , obtenga

   $\sqrt{(p^2+1)}(x-y) = (x+yp)$

4. ampliar el lado izquierdo, reagrupar

   $x\sqrt{(p^2+1)}- x = yp + y\sqrt{(p^2+1)}$

   $x(\sqrt{(p^2+1)}- 1) = y(p + \sqrt{(p^2+1)})$

5. ahora tienes forma $y= F(p)x $

   $x \frac{\sqrt{(p^2+1)}- 1}{p + \sqrt{(p^2+1)}} = y$

6. Diferenciar esa forma para conseguir:

   $y' = p = F'(p)p'x + F(p)$

7. Ahora te has librado de y, después de reagrupar

   $\frac{F'(p) p'}{p-F(p)} = 1/x$

8. inserte su $F(p)$ y $F'(p)$ e integrar, es un lío sin sustituciones inteligentes pero acabo de enchufar todo en Mathematica, ahora obtienes :

   $\frac{p+\sqrt{p^2+1}}{\sqrt{p^2+1}}=c_1 x$

9. resolver para $p$

   $p=\pm \frac{i (c_1 x-1)}{\sqrt{c_1} \sqrt{x} \sqrt{c_1 x-2}}$

10. ahora integra eso, consigue:

    $y= \pm \frac{i \sqrt{x} \sqrt{c_1 x-2}}{\sqrt{c_1}} + c_2$

11. al introducir 1. se obtiene una posible solución para las constantes que funcionan para todas las x

    $c_1 =c_2 =1 $

12. por lo que una solución final a (1) es

    $y= \pm i*\sqrt{x(x-2)} + 1$

    puedes expolore en Mathematica otras soluciones enchufando 10 en 1 (NO 2) y asegurando que todo será 0. Estoy seguro de que hay soluciones más inteligentes para esto, al menos espero que ayude.