Motivación de la gavilla cuasi coherente

Question

Tengo algunos conocimientos sobre haces vectoriales en el contexto de la geometría diferencial y he visto cómo los campos vectoriales forman un módulo sobre funciones suaves en una variedad suave.

Recientemente me encontré con la gavilla cuasi coherente en el contexto de $O_X$ -módulos sobre un esquema $(X,O_X)$ . Mi profesor lo introdujo como una gavilla de módulos que localmente se ven como una gavilla asociada a algún módulo M (aunque la mayoría de los recursos en línea parecen definirlo usando alguna secuencia exacta de módulos que no entiendo bien).

Ahora vamos a mis preguntas:

1. En muchos recursos en línea estoy viendo un comentario recurrente "Las gavillas cuasi coherentes son generalizaciones de los haces vectoriales en el contexto de la Geometría Algebraica". ¿Qué significa esto?

2. ¿Cómo entra en juego esa definición de secuencia exacta?

Answer 1

Los haces vectoriales son agradables de pensar, pero tienen problemas: no es cierto que el núcleo y el cokernel de un mapa de haces vectoriales sea necesariamente un haz vectorial. Consideremos, por ejemplo, la gavilla ideal del origen dentro de $\Bbb A^1_k$ es un haz vectorial (es la gavilla asociada al módulo libre $xk[x]$ ), y se inyecta en otro haz de vectores $\mathcal{O}_{\Bbb A^1_k}$ (la gavilla asociada al módulo libre $k[x]$ ), pero el cokernel es la gavilla de estructura del origen (la gavilla asociada al $k[x]$ -Módulo $k$ ).

Nos gustaría estar en una situación en la que trabajáramos en una categoría abeliana: en particular, queremos ser capaces de tomar núcleos y cokernels y que sigan estando en nuestra categoría. Las láminas cuasi-coherentes proporcionan una de esas categorías en las que podemos hacer esto, y en cierto sentido es la más pequeña posible (el sentido preciso es que es la categoría abeliana cocompleta más pequeña que contiene haces vectoriales también conocidos como láminas localmente libres).

Esto enlaza muy bien con la "definición mediante secuencias exactas" que mencionas en la parte 2. Para ser precisos, esta definición es que, localmente, toda gavilla cuasicoherente $\mathcal{F}$ puede representarse como el cokernel de un morfismo de láminas libres: para cada punto $x\in X$ hay un barrio abierto $U\subset X$ con una secuencia exacta $$\mathcal{O}_X|_U^{\oplus I} \to \mathcal{O}_X|_U^{\oplus J}\to \mathcal{F}|_U\to 0$$ para algunos conjuntos $I,J$ .

La mayoría de las nociones razonables de la geometría algebraica son, en cierto sentido, "locales", lo que significa que si queremos verificar que alguna propiedad es válida, deberíamos poder comprobar que lo es en una vecindad de cada punto. Esta definición de gavilla cuasi-coherente nos proporciona la forma correcta de hacerlo, y esta definición es equivalente a la anterior (cualquier gavilla en la categoría abeliana cocompleta más pequeña que contenga gavillas localmente libres cumple la definición anterior como cokernel local de gavillas libres y viceversa). Para una discusión más detallada, se puede consultar FOAG de Vakil La sección 13.1.9, que comienza en la página 374, así como esta pregunta del modus operandi y/o esta pregunta de MSE .