¿La ecuación de Euler-Lagrange da una función constante?

Question

Mi función es $J[f] = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \log f(x)\,dx$ . Quiero maximizarlo usando el cálculo de variaciones.

Para utilizar la ecuación de Euler-Lagrange, defino $L(t, y, y')$ tal que $J[f] = \int_{-\infty}^{\infty} L(t, f(x), f'(x))\,dt$ :

$$L(t, y, y') = y \log y.$$

La ecuación EL dice que

$$\frac{\partial}{\partial y} L(t, y, y') = \frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial y'} L(t, y, y').$$

(pregunta auxiliar: ¿por qué el enunciado del lado derecho de la ecuación EL utiliza $\frac{d}{dt}$ y no $\frac{\partial}{\partial t}$ ?)

Sustituyendo en la ecuación EL, la solución trivial es $\log y + 1 = 0$ o $f(x) = \exp(-1)$ . Siento que me falta algo aquí. ¿Qué es lo que está mal?

Answer 1

No creo que se pierda nada aquí. La expresión que tienes arriba es para la entropía y la distribución para la entropía máxima en los reales es "uniforme". Es decir, el resultado del experimento puede ser cualquier valor sin ninguna preferencia entre ellos. Sin embargo, verás que no existe tal "densidad de probabilidad", ya que no puedes integrar un valor positivo sobre todos los reales y obtener algo finito.