¿Hay alguna forma de expresar la fórmula $(A\to B)\land((C\land B)\to A)$ como un bicondicional, es decir, como un enunciado de la forma $\phi\leftrightarrow\psi$ para algunas expresiones $\phi(A,C)$ , $\psi(B,C)$ ? Por supuesto, siempre se puede establecer $\psi=\top$ y $\phi=(A\to B)\land((C\land B)\to A)$ pero quiero algo menos trivial, de ahí la restricción de que $B$ no estar presente en $\phi$ y $A$ no en $\psi$ (que no me importa si hay alguna otra solución razonable que no sea trivial). Los primeros intentos obvios son $(C\land A)\leftrightarrow(C\land B)$ que sólo da $(C\land A)\to B$ para la implicación hacia adelante, y $A\leftrightarrow(C\land B)$ que también da $A\to C$ en la implicación inversa.
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$ \newcommand{\calc}{\begin{align} \quad &} \newcommand{\calcop}[2]{\\ #1 \quad & \quad \unicode{x201c}\text{#2}\unicode{x201d} \\ \quad & } \newcommand{\endcalc}{\end{align}} \newcommand{\ref}[1]{\text{(#1)}} \newcommand{\then}{\Rightarrow} \newcommand{\followsfrom}{\Leftarrow} \newcommand{\true}{\text{true}} \newcommand{\false}{\text{false}} $ No encuentro nada que coincida exactamente con sus requisitos, pero tal vez $$\tag 0 (C \then A) \;\equiv\; (A \then B) \land (C \then B)$$ ¿se ajustan a su perfil?
Encontré esto por poniendo (A => B) && ((C && B) => A) en Wolfram Alpha que sugiere como una forma mínima el DNF $$\tag 1 (A \land B) \lor (\lnot A \land \lnot B) \lor (\lnot A \land \lnot C)$$ que se transforma fácilmente en la expresión anterior:
$$\calc \tag 1 (A \land B) \lor (\lnot A \land \lnot B) \lor (\lnot A \land \lnot C) \calcop={basic property of $ \ ~ - Equivocarse; $} (A \equiv B) \lor (\lnot A \land \lnot C) \calcop={$ \ ~ - Cloruro de calcio; $ distributes over $ \ ~ - Equivocarse; $} A \lor (\lnot A \land \lnot C) \;\equiv\; B \lor (\lnot A \land \lnot C) \calcop={simplify LHS} \tag{*} A \lor \lnot C \;\equiv\; B \lor (\lnot A \land \lnot C) \calcop={distribute $ \ ~ - Cloruro de calcio; $ over $ |landia; $ in RHS; introduce $ \N - La vida de un hombre es una de las cosas más importantes de su vida; $, three times} \tag 0 (C \then A) \;\equiv\; (A \then B) \land (C \then B) \endcalc$$
Esta es la forma más "simétrica" que he podido encontrar: pero sólo lo he hecho por ensayo y error. La forma más corta que he encontrado es $\ref *$ o su variante DeMorgan $\;A \lor \lnot C \;\equiv\; B \lor \lnot (A \lor C)\;$ .
