Considerando una secuencia infinita de lanzamientos de una moneda justa, ¿cuánto tiempo tardará de media hasta que aparezca el patrón HTT?
Pensé que una forma de resolver esto sería como una cadena de Markov, donde el estado en el que se encuentra se define como el número de vueltas que faltan para que la secuencia sea HTT. Por ejemplo, si la secuencia es HTHHT, estaría en el estado 1, ya que sólo necesita una vuelta más para formar HTHHTT.
He definido la matriz de cambio de estado $P_{ij}$ que contiene la probabilidad de pasar del estado i al estado j, donde i representa la fila y j las columnas. La primera fila es todo ceros porque después de que aparezca HTT (estado 0), la secuencia termina.
$$P_{ij} =\begin{bmatrix}0 & 0 &0 &0\\1/2&0&1/2 &0\\0&1/2&1/2&0\\0&0&1/2&1/2\end{bmatrix}$$
También definí $x_0$ como el estado de la secuencia en el giro 0. $x_n = x_{n-1}*P_{ij}$ es el estado en el giro n.
$$x_0 = \begin{bmatrix}0 & 0 &0 & 1\end{bmatrix}$$
He definido $E[X]$ = $$\sum_{k=0}^{\infty} k*P(State\ 0 \ or \ HTT \ formed \ at \ flip \ k) = k * x_k(j = 0) $$
Por alguna razón no estoy recibiendo la respuesta correcta. Sé que hay otra forma de resolver este problema utilizando martingalas, pero me gustaría que alguien me indicara qué errores estoy cometiendo en mi proceso.
