Comprueba esta doble integral

Question

Estoy aprendiendo ángulos sólidos de esta página entre otros.

A mitad de camino muestra una doble integral:

$$\int_{\phi_1}^{\phi_2} d \phi\int_{\theta_1}^{\theta_2}\sin \theta\,d\theta = (\phi_2 - \phi_1)(\cos \theta_2 - \cos \theta_1)$$

Creo que el $\theta_1$ y $\theta_2$ en el RHS deben ser intercambiados. Sin embargo, estoy muy oxidado en la integración. ¿Puede alguien decirme cuál es la respuesta correcta, por favor?

Answer 1

El resultado es erróneo, y usted tiene razón: $\theta_1$ y $\theta_2$ debe ser intercambiado.

Tenemos $$\int^{\theta_2}_{\theta_1} \sin\theta\ d\theta = (-\cos\theta)\rvert^{\theta_2}_{\theta_1} = (-\cos\theta_2) - (-\cos\theta1) = \cos\theta_1 - \cos\theta_2.$$

Entonces $$\int_{\phi_1}^{\phi_2}d\phi\int^{\theta_2}_{\theta_1} \sin\theta\ d\theta = \int_{\phi_1}^{\phi_2}(\cos\theta_1 - \cos\theta_2)d\phi = (\phi_2 - \phi_1)(\cos\theta_1 - \cos\theta_2).$$