¿Por qué es : $[ K \ : \ K^G ] = | G |$ ?

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo finito que actúa como automorfismos de un campo $K$ .

¿Por qué es : $$[ K \ : \ K^G ] = | G |$$ ?

Gracias de antemano por la ayuda.

Answer 1

Puedes conseguirlo demostrando desigualdades en ambas direcciones. Sea $K^G = F$ a lo largo del puesto.

Lema 1. $[K : F] \leq |G|$ .

Prueba. Dejemos que $|G| = n$ . Escoge cualquier $n+1$ elementos de $K$ como $\alpha_k$ y considerar el $n \times (n+1)$ matriz $A$ dado por $A_{ij} = \sigma_i(\alpha_j)$ donde el $\sigma_i$ son todos los automorfismos en $G$ . Esta matriz tiene más columnas que filas, por lo que sus columnas son linealmente dependientes sobre $K$ . Mostraremos que podemos refinar esta relación de dependencia lineal para que sea sobre $F$ de la siguiente manera. Entre los vectores no nulos en el núcleo de $A$ elija uno con un número mínimo de entradas no nulas, por ejemplo $v$ . Podemos suponer que la entrada principal de $v$ es $1$ permutando y multiplicando por un elemento de $K$ si es necesario. Desde $G$ actúa sobre $A$ permutando sus filas, es fácil ver que $\sigma(v)$ también está en el espacio nulo para cualquier $\sigma \in G$ por lo que también lo es $\sigma(v) - v$ . Pero este último vector tiene menos entradas no nulas que $v$ por lo que este vector es realmente cero y $\sigma(v) = v$ . Dado que esto es válido para cada $\sigma \in G$ las entradas de $v$ están en $K^G = F$ , concluyendo la prueba.

Lema 2. $[K : F] \geq |G|$ .

Prueba. Dejemos que $\beta_i$ sea una base de $K/F$ sabemos que existe una base finita gracias al lema 1. Consideremos la matriz $A_{ij} = \sigma_i(\beta_j)$ donde el $\sigma_i$ son todos los automorfismos en $G$ . Por la independencia lineal de los caracteres, las filas de esta matriz son linealmente independientes, por lo que esta matriz debe tener más columnas que filas. El resultado es el siguiente.