Dejemos que $k$ sea un campo, y que $L$ sea una extensión cuadrática de $k$ . Denote por $\sigma$ el elemento no trivial de $\operatorname{Gal}(L/k)$ . Sea $M_2(L)$ sea el espacio vectorial sobre $L$ de matrices de dos por dos con entradas en $L$ . Sea $$H^0_2(L/k) = \bigl\{ y \in L(2); \sigma(y)^T = y \text{ and } \operatorname{tr}(y) = 0 \bigr\}.$$ y definir el mapa $j: L^2 \to L^2$ por $$j \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sigma(v) \\ \sigma(u) \end{pmatrix}.$$ También dejamos que $(-,-): L^2 \times L^2 \to L$ se define por $$(\mathbf{u_1},\mathbf{u_2}) = u_1 \sigma(u_2) + v_1 \sigma(v_2)$$ donde $\mathbf{u_i} = (u_i,v_i)^T$ , para $i=1,2$ . Definir $$M^j_2(L) = \{x \in M_2(L); x j = j x \bigr\}.$$ Ahora definimos el mapa:
$$h: M^j_2(L) \to H^0_2(L/k),\qquad h(x) = \sigma(x)^T \begin{pmatrix} 1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}x.$$
Aunque está claro que la imagen de $h$ se encuentra en $H_2(L/k)$ queda por comprobar que $\operatorname{tr}(h(x)) = 0$ para cualquier $x \in M^j_2(L)$ . Sea $x \in M^j_2(L)$ . Sabemos que $$\begin{align}\operatorname{tr}(h(x)) &= \operatorname{tr}\left(x\sigma(x)^T \begin{pmatrix} 1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}\right) \\ &= (x\sigma(x)^T e_1, e_1)-(x\sigma(x)^T e_2, e_2) \\ &= (x\sigma(x)^T e_1, e_1)-(x\sigma(x)^T je_1, je_1) \\ &= (\sigma(x)^T e_1, \sigma(x)^Te_1)-(\sigma(x)^T je_1, \sigma(x)^T je_1) \\ &= (\sigma(x)^T e_1, \sigma(x)^Te_1)-(j\sigma(x)^T e_1, j\sigma(x)^Te_1) \\ &= (\sigma(x)^T e_1, \sigma(x)^Te_1)-\sigma(\sigma(x)^T e_1, \sigma(x)^Te_1) \\ &= 0 .\end{align}$$
Pregunta 1 para qué pares $(k,L)$ es el mapa correspondiente $h$ ¿subjetivo? Es sobreyectiva si $k=\mathbb{R}$ y $L=\mathbb{C}$ , ya que $h$ es esencialmente el mapa de Hopf en este caso. ¿Y en general?
Pregunta 2 ¿Qué se puede decir de las fibras de $h$ ?
Editar 1: Me di cuenta de que el espacio objetivo debería ser el espacio de los hermitianos sin rastro matrices, de lo contrario la afirmación ni siquiera sería cierta para $k=\mathbb{R}$ y $L=\mathbb{C}$ . Esto me llevó a modificar mi post original en consecuencia, e introducir la "estructura cuaterniónica" $j$ en $L^2$ y también restringir el dominio a la "porción real" de $M_2(L)$ que es $j$ -equivariante.
Editar 2: Además, asumo que $\operatorname{char}(k) \neq 2$ En caso contrario, el correspondiente mapa de Hopf generalizado no es suryectivo por razones triviales, elaborando explícitamente la fórmula del mapa de Hopf generalizado (un pequeño cálculo).
Edita 3: para $h$ sea suryente para algún par $(k,L)$ Las condiciones necesarias y suficientes son:
condición 1: para todos los $z \in k$ y todos $\zeta \in L$ , $z^2+N(\zeta)$ es un cuadrado en $k$ .
condición 2: para todos los $z \in k$ y todos $\zeta \in L$ El sistema $$\left\{ \begin{array}{rl} 4t^2 + 4zt - N(\zeta) &= 0 \\ N(v) &= \pm t \end{array} \right.$$ tiene al menos una solución no nula $v \in L$ para al menos una posible elección de signo en la segunda ecuación.
No espero que estas condiciones se mantengan para ningún par $(k,L)$ . He obtenido estas condiciones a grandes rasgos eliminando una de las dos variables con valores en $L$ que describen un elemento $x \in M^j_2(L)$ .
Edita 4: Podemos sustituir la condición 2 de la edición 3 por una condición más fácil de comprobar, en la práctica, que denotaré como condición 2'. Para $h$ sea suryente para algún par $(k,L)$ Las condiciones necesarias y suficientes son:
condición 1: para todos los $z \in k$ y todos $\zeta \in L$ , $z^2+N(\zeta)$ es un cuadrado en $k$ .
condición 2": para todos los $z \in k$ , ya sea $z=N(v)$ o $-z=N(v)$ para algunos $v \in L$ .
Editar 5: Las condiciones 1 y 2' de la edición 4 equivalen a las 3 condiciones siguientes. Para $h$ sea suryente para algún par $(k,L)$ Las condiciones necesarias y suficientes son:
condición A: $\operatorname{Im}(N) = \{ z^2; z\in k \}$
condición B: para cualquier $z \in k$ , ya sea $z$ o $-z$ es un cuadrado en $k$ .
condición C: para cualquier $z_1,z_2 \in k$ el elemento $z_1^2+z_2^2$ es un cuadrado en $k$ es decir $k$ es un campo pitagórico.
Vemos que la condición C no puede satisfacerse si, por ejemplo $k = \mathbb{F}_p$ con $p$ un primo impar, ya que implica que cualquier elemento en $k$ es un cuadrado, lo cual es una contradicción (ya que exactamente la mitad de los elementos de $\mathbb{F}^\times_p$ son cuadrados. Del mismo modo, se obtiene una contradicción si $k$ es un campo finito de característica $p$ con $p$ un primo impar, ya que por la condición B y el hecho de que $k$ es finito, deducimos que $-1$ es un no cuadrado en $k$ . Pero la condición C implica que $-1$ es un cuadrado en $k$ por lo que obtenemos una contradicción. Por lo tanto, para el mapa de Hopf generalizado $h$ para que sea sobreyectiva, $k$ debe ser infinito.
Del mismo modo, como los campos numéricos no son pitagóricos, deducimos que si $k$ es un campo numérico, entonces el correspondiente mapa de Hopf $h$ no es sobreyectiva.
