Encuentra los cuatro primeros términos de la serie de Fourier para una solución de la ecuación de onda

Question

La cuestión es encontrar los cuatro primeros términos de la serie de Fourier para $u(x,t), t>0$ . Es para una cuerda pulsada de longitud L, tiene un desplazamiento inicial nulo (es decir $u(x,0)=0, 0<x<L$ ) y la velocidad inicial viene dada por:

$$u_t(x,0)=g(x)= \begin{cases} 0 & 0<x<\frac L4 \\ g_0 & \frac L4<x<\frac {3L}4 \\ 0 & \frac {3L}4<x<L \end{cases} $$

¿Puedo utilizar la solución general de $u(x,t)$ para $u(x,0)=0$ que es

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty B_n \sin \frac{(n\pi ct)}{L} \sin \frac{(n\pi x)}{L}.$$

Entonces encuentra

$$B_n=\frac 2{n \pi c} \int_0^L \sin \frac{(n\pi x)}{L} g(x) dx. $$

Entonces sub en valores para n=1,..,4 ? No me da los valores específicos $c$ o $L$ valores por lo que estoy un poco confundido y no estoy seguro de si estoy enfocando esto correctamente.

Gracias

Answer 1

Así es como se avanza

$$ B_n=\frac 2{n \pi c} \int_0^L \sin \frac{(n\pi x)}{L} g(x) dx=\frac{2}{n \pi c} \int_{L/4}^{3L/4} g_0\sin \frac{(n\pi x)}{L} dx $$

$$\implies B_n = {\frac {2\,g_{{0}}L \left( \cos \left( \frac{n\pi}{4} \right) -\cos \left( \frac{3n\pi}{4} \right) \right) }{{n}^{2}{\pi }^{2}c}}.$$

Ahora, los sustitutos $B_n$ de nuevo en la ecuación resaltada y derivar el número deseado de términos.

Nota: El caso $n=0$ se puede encontrar a partir de la fórmula utilizando el límite o simplemente encontrarlo directamente a partir del original en tegral.