Convergencia de una serie que implica una relación de senos

Question

¿La serie

$$ \sum_{n=1}^\infty\frac{\sin\left(\frac{1}{n^3}\right)}{\sin\left(\frac{1}{n}\right)}$$

¿converger? Wolfram alpha dice que lo hace por comparación, y yo estaba tratando de comparar esto diciendo que es menos que $ 1/n^3/\sin(1/n)$ pero ahora estoy atascado. ¿Puede alguien guiarme para determinar la convergencia de esta serie? Una descripción formal si es posible por favor, sé que $\sin(1/n)$ se comportará como $1/n$ para n grande por lo que la suma global debería comportarse como la convergente $1/n^2$ pero, ¿cómo podemos demostrarlo formalmente?

Answer 1

Una pista: Podemos hacer una comparación de límites con $\sum \frac{1}{n^2}$ , escrito como $\sum \left(\frac{1}{1/n}\cdot \frac{1}{n^3}\right)$ .

O si no, ten en cuenta que $0\lt \sin\left(\frac{1}{n^3}\right)\lt \frac{1}{n^3}$ y $\sin\left(\frac{1}{n}\right)\gt \frac{1}{2n}$ . Eso nos dará una comparación útil.