Dejemos que $σ$ sea el función de suma de divisores . Sea $σ(n)/n$ sea el índice de abundancia de $n$ . Consideremos el mapa de densidad $$f(x) = \lim_{N \to \infty} f_N(x) \ \ \text{ with } \ \ f_N(x) = \frac{1}{N} \#\{ 1 \le n \le N \ | \ \frac{\sigma(n)}{n} < x \}. $$ En este documento Deléglise mencionó que Davenport demostró que $f$ es continua, y se ha demostrado que $0.752 < f(2) < 0.7526$ (límites mejorados por Kobayashi en su Tesis doctoral ).
Dejemos que $\alpha = f^{-1}(1/2)$ sea el mediana índice de abundancia es decir, el número $\alpha$ tal que los enteros de índice de abundancia mayor que $\alpha$ tienen una densidad natural exactamente $1/2$ .
$$\begin{array}{c|c} N & f_N^{-1}(1/2) \newline \hline 1 &1.00000000000000 \newline \hline 10 &1.50000000000000 \newline \hline 10^2 &1.54838709677419 \newline \hline 10^3 &1.51485148514851 \newline \hline 10^4 &1.52707249923524 \newline \hline 10^5 &1.52501827363944 \newline \hline 10^6 &1.52384533012867 \newline \hline 10^7 &1.52381552194973 \newline \hline 10^8 &1.52381084043829 \end{array}$$
La tabla anterior sugiere que $\alpha \simeq 1.52381$ .
Pregunta 1 : ¿Qué se sabe sobre el índice de abundancia media? ¿Se menciona en alguna parte? Es cierto que $|\alpha-1.52381|<10^{-5}$ ?
Dejemos que $(b_n)_{n \ge 1}$ sea la secuencia de enteros tal que para todo $k<b_n$ entonces $$|\sigma(k)/k - \alpha| > |\sigma(b_n)/b_n - \alpha|.$$ Es la primera secuencia lexicográfica de enteros cuyo índice de adundancia estrictamente convergen al índice de adundancia medio. Llamemos a esta secuencia la secuencia budista en referencia a la Camino del medio en la filosofía del budismo. Asumiendo que $|\alpha-1.52381|<10^{-5}$ aquí están los primeros términos de esta secuencia junto con la distancia de su índice de adundancia de $1.52381$ : $$ \begin{array}{c|c} n & b_n & |\sigma(b_n)/b_n -1.52381| \newline \hline 1 & 1 & 0.52381000000000 \newline \hline 2 & 2 & 0.02381000000000\newline \hline 3 & 21& 0.00000047619048\newline \hline 4? & 22099389? & 0.0000002693327? \end{array} $$
Observe que $b_3=21$ , $\sigma(21)/21 = 32/21$ y $|32/21-1.52381|<10^{-6}$ que es estadísticamente imprevisible, como se muestra si consideramos la variación $(b'_n)$ tomando $22$ como término inicial:
$$ \begin{array}{c|c} n & b'_n & |\sigma(b'_n)/b'_n -1.52381| \newline \hline 1&22& 0.112553636363636 \newline \hline 3&26& 0.0915746153846153 \newline \hline 4&27& 0.0423285185185187 \newline \hline 5&46& 0.0414073913043478 \newline \hline 6&58& 0.0279141379310344 \newline \hline 7&62& 0.0245770967741934 \newline \hline 8&74& 0.0167305405405405 \newline \hline 9&82& 0.0127753658536585 \newline \hline 10&86& 0.0110737209302325 \newline \hline 11&94& 0.00810489361702116 \newline \hline 12&106& 0.00449188679245283 \newline \hline 13&118& 0.00161372881355915 \newline \hline 14&122& 0.000780163934426037 \newline \hline 15&3249& 0.000659067405355485 \newline \hline 16&14337& 0.000478759154634911 \end{array} $$
Así que hay muchas posibilidades de que $\alpha = 32/21$ . Si es así la secuencia búdica termina con su tercer término y $b_3=21$ debería llamarse Número de Buda . Si no es así, entonces sabemos que el conjunto de índices de abundancia es denso, por lo que la secuencia búdica debe tener un siguiente término $b_4$ pero $\sigma(b_3)/b_3$ ya está demasiado cerca de $\alpha$ en comparación con su aproximación conjetural anterior, por lo que no podemos conjeturar el siguiente término. Un posible candidato para $b_4$ se menciona en la tabla anterior.
Pregunta 2 : ¿La secuencia búdica termina con su tercer término? Si no es así, ¿cuáles son los siguientes términos?
A continuación se presentan algunos cálculos adicionales con 10 muestras de 100001 enteros aleatorios entre $10^{20}$ y $10^{21}$ sugiriendo que $\alpha = 32/21$ debería ser correcta (las listas de sage están numeradas desde 0).
sage: import random
sage: for t in range(10):
....: L=[]
....: for i in range(100001):
....: b=random.randint(10**20,10**21)
....: q=sum(divisors(b))/b
....: L.append(q)
....: L.sort()
....: print((32/21-L[50000]).n())
-2.01727393333164e-8
0.00244355476044226
0.00201824866273585
-0.00130445314014877
-0.000322772616778371
0.00102756546533326
-6.74774915307343e-10
-1.48849650772673e-19
-0.0000572173485145812
-6.52303473965081e-20Observación : Una muestra proporciona una mediana cercana a 32/21 con 20 dígitos, otra con 19 dígitos, otra con 10, otra con 8, otra con 5, otra con 4 y cuatro con 3.
¿Cómo se explican estas irregularidades estadísticas?
Un número con índice de abundancia mayor (o menor) que $2$ se llama abundante (resp. deficiente ), porque la suma de sus divisores propios (o suma de alícuotas ) se excede (resp. supera) a sí mismo. En el mismo sentido, un número con índice de abundancia mayor (resp. menor) que la mediana del índice de abundancia $\alpha$ podría llamarse número aventajado (o desfavorecido).
Hay un Problema tipo Collatz (llamado Conjetura de Calatan-Dickson ) en relación con la suma de alícuotas $s$ preguntando si todos los secuencias alícuotas $(s^{\circ r}(n))_{r \ge 0}$ están acotados. Un valor de $\alpha-1 \simeq 0.52381$ sugiere heurísticamente una respuesta positiva a este problema porque $\alpha-1$ es la mediana de $s(n)/n$ aunque hay serios candidatos a contraejemplo como $n=276$ como $s^{\circ 100}(276)>10^{19}$ . Hay cinco candidatos de este tipo menos de $1000$ llamado el Lehmer Cinco (ver esta página web dedicado a los recientes avances en la secuencia de alícuotas).
La siguiente imagen muestra $f_N$ para $N=10^7$ (que debería ser una buena aproximación a $f$ según la tabla anterior). 
Obsérvese que la función $f$ parece hacer un saltar alrededor de $\alpha$ mientras que es continua, por lo que debería ser indiferenciable allí; además, el fenómeno ocurre alrededor de muchos otros puntos (con un conjunto de Cantor o sabor fractal), lo que lleva a:
Pregunta 3 : Es $f$ a Función de Weierstrass ? ¿Cuál es el significado de estos saltos?
