Construir una función lineal acotada no nula en $L^\infty[0,1]$ que se desvanece en $C[0,1]$

Question

Quiero dar un ejemplo de un funcional lineal acotado no nulo en $L^\infty[0,1]$ que se desvanece en $C[0,1]$ . Sé que la existencia de dicho funcional está garantizada por el Teorema de Hahn-Banach. Mi problema es construir uno realmente. Por ejemplo, sé que $C[0,1]$ es un subespacio de $L^\infty[0,1]$ así que intenté definir un $f$ en $C[0,1]$ como $f(u)=\lim_{x\to\frac{1}{2}^+}u(x)-\lim_{x\to\frac{1}{2}^-}u(x)$ . Esto se desvanece en $C[0,1]$ pero los límites unilaterales no están necesariamente bien definidos en $L^\infty[0,1]$ . También pensé en considerar $L:=$ el lapso de $C[0,1]$ y algún elemento en $L^\infty[0,1]\backslash C[0,1]$ como $\chi_{[0,\frac{1}{2}]}$ . Entonces para $y=u+\lambda\chi_{[0,\frac{1}{2}]}\in L$ Puedo definir $f(y)=\lambda$ .

$f$ se desvanece en $C[0,1]$ y $||f||\neq0$ y sé que puedo ampliar $f$ a $\phi$ en $L^\infty[0,1]$ pero quiero ser capaz de saber qué $\phi$ parece explícitamente. Tal vez eso no sea posible para este $\phi$ pero ¿hay algún ejemplo de algún otro $\phi$ que se define explícitamente para cada elemento de $L^\infty[0,1]$ ?

Answer 1

Los funcionales lineales acotados en $L^\infty[0,1]$ son precisamente las dadas por la integración contra medidas complejas finitamente aditivas que son absolutamente continuas con respecto a la medida de Lebesgue. Así que lo que se busca es un ejemplo de una medida aditiva pero $\sigma$ -medida aditiva. Y los ejemplos no son terriblemente explícitos: aquí es el tipo de cosa que hay que esperar.

Answer 2

No creo que esto sea posible. Los funcionales lineales continuos en $L^{\infty}$ son del tipo $f \to \int f d\mu$ donde $\mu$ es una medida finitamente aditiva. Si $\mu$ es contablemente aditivo entonces $\int f d\mu=0$ para todos $f \in C[0,1]$ fuerzas $\mu$ para ser $0$ . Por lo tanto, necesitamos una medida finitamente aditiva que no sea contablemente aditiva, pero no existe una construcción explícita de tal medida.

Answer 3

El doble de $E=L^1([0,1])$ es $E'=L^\infty([0,1])$ . Lo que se pide es un funcional lineal $\lambda\in E''$ que desaparece en el subespacio $V=C([0,1]) \subset E'$ . Ahora, cualquier $g\in E$ da lugar a un elemento $\lambda_g\in E''$ por dualidad, y por la teoría de la integración estándar es un funcional no nulo en $V$ si $g$ es distinto de cero en $E$ .

Así que necesitas un elemento genuino $\lambda\in E''\setminus E$ . Tal elemento no existe en un sistema ZF puro. Esto sugiere fuertemente que no se podrá describir explícitamente la acción de tal elemento sobre todos los $E'$ . La AC parece inevitable en alguna forma.