2 círculos y una elipse y problema de área mínima.

Question

2 círculos ( $r_1 \neq r_2$ ) y una elipse se tocan entre sí como se muestra en la Figura-1. ¿Cuál es el área mínima (A) entre ellas? Considera $a,b,r_1,r_2$ valores dados (constantes). Imaginemos que cambiamos las posiciones de los círculos y la elipse para obtener el área mínima (A) entre ellos sin cambiar $a,b,r_1,r_2$ valores.

Creo que he encontrado la estrategia cómo se puede resolver para ( $r_1 = r_2$ ) como se muestra en la Figura 2. Pero no tengo una forma de ( $r_1 \neq r_2$ ) condición.

Gracias por la ayuda y las respuestas.

EDITAR:

He dibujado la figura que cheepychappy aconsejó para $r_1 \neq r_2$ caso. Creo que es una estrategia correcta como se muestra en la figura 3 para encontrar el área mínima entre ellos. Ahora necesito crear ecuaciones y resolver el problema.

Answer 1

No estoy seguro de que esto ayude, pero si has resuelto para el $r_1=r_2$ caso, creo que debería ser capaz de seguir esta línea de razonamiento para el caso general.

Existe un triángulo con vértices en los centros de las dos circunferencias y un tercer vértice en otro lugar. El lado que une los centros de las dos circunferencias es de longitud $r_1+r_2$ y los otros dos lados contienen los radios de cada círculo apuntando hacia sus respectivas intersecciones con la elipse.

Primero, optimice los dos ángulos de la base de este triángulo (los ángulos en el centro de cada círculo, llamémoslos $\theta_1$ y $\theta_2$ ) para que las tangentes a los círculos en cada una de las tres intersecciones se conviertan en altitudes del triángulo y para que su intersección sea por tanto el ortocentro del triángulo. Evidentemente, la relación entre $r_1$ y $r_2$ limitará los ángulos $\theta_1$ y $\theta_2$ se puede permitir.

A continuación, inclina tu elipse para que su eje mayor también apunte hacia este ortocentro, es decir, para que su punto más convexo se superponga al triángulo, reduciendo así la mayor superficie posible.

Las distancias de cada punto tangente al ortocentro son iguales y cada línea del ortocentro a los centros de los círculos biseca sus ángulos $\theta_1$ y $\theta_2$ .

El segmento que une los dos puntos de intersección de la elipse es una cuerda perpendicular y bisecada por el eje mayor de la elipse. La solución optimizada tendrá una longitud mínima para esta cuerda. El ángulo de elevación de esta cuerda (y por lo tanto el eje menor de la elipse en sí) con respecto a la línea que une los dos círculos viene dado por:

$\alpha = \tan^{-1}(\frac{r_2\sin(\theta_2)-r_1\sin(\theta_1)}{r_2(1-\cos(\theta_2)) + r_1(1-\cos(\theta_1))})$

A partir de ahí, conociendo la inclinación de la elipse respecto a la recta que une los centros de las dos circunferencias y sabiendo que el ángulo que cubre el segmento de la elipse es bisecado por el eje mayor, creo que se debería poder proceder de forma similar al caso $r_1 = r_2$ . O al menos ese es mi intento de respuesta antes de que se acabe la recompensa. Mucha suerte.

EDITAR:

Definiciones:

$\theta_1$ es $m\angle CO_2B$

$\theta_2$ es $m\angle AO_1B$ ,

$\theta_3$ es $m\angle AOC$

(en general, el subíndice 3 se referirá a la elipse, aunque no esté marcada como tal en el diagrama)

Relaciones entre ángulos:

$\theta_2 = 2\arctan(\frac{r_1}{r_2}\tan(\frac{\theta_1}{2}))$

$\theta_3 = 2\arcsin(\frac{r_1}{b}\tan(\frac{\theta_1}{2})\sin(\frac{\theta_1 + \theta_2}{2}))$

Áreas de los tres segmentos:

$A_{\bigcirc_1} = \frac{\theta_1}{2}r_1^2$

$A_{\bigcirc_2} = \frac{\theta_2}{2}r_2^2$

$A_{\bigcirc_3} = a\cdot b\cdot \arctan(\frac{b}{a}\tan(\frac{\theta_3}{2}))$

ver este post sobre cómo encontrar el área de un segmento de elipse

Áreas de los triángulos que hay que restar a esos segmentos:

$A_{\triangle_1} = \frac{1}{2}r_1^2\sin(\theta_1)$

$A_{\triangle_2} = \frac{1}{2}r_2^2\sin(\theta_2)$

$A_{\triangle_3} = \frac{1}{2}(b^2\sin^2(\frac{\theta_3}{2}) + a^2\cos^2(\frac{\theta_3}{2}))\cdot\sin(\theta_3)$

Puede utilizar La fórmula de Heron para calcular el área de $\triangle ABC$ utilizando las longitudes laterales definidas por

$\overline{AB} = 2r_1\sin(\frac{\theta_1}{1})$

$\overline{BC} = 2r_2\sin(\frac{\theta_2}{2})$

$\overline{AC} = 2b\cdot\sin(\frac{\theta_3}{2})$

La restricción de las tangentes:

Así que todo lo anterior te da resultados sólo en términos de tus constantes y los ángulos, que pueden reducirse a ser relaciones de un solo ángulo de tu elección. Lo que tienes que hacer para obtener una solución, es recordar la restricción de que las líneas tangentes de tu elipse tienen que ser las mismas que las líneas tangentes a tu círculo para que la elipse nunca se superponga a ellas.

La pendiente de las líneas tangentes a su elipse viene dada por:

$s_{ellipse} = \pm\frac{b}{a}\cot(\frac{a}{b}\arctan(\frac{\theta_3}{2}))$

En cuanto a los círculos, se puede pensar en $\alpha$ como se definió en mi respuesta original como la rotación de los círculos fuera de la $y$ -lo que significa que para el círculo 1 la medida del ángulo que se aleja del eje positivo $x$ dirección es:

$\theta_1^\prime = -(\theta_1 + \frac{\pi}{2} - \alpha)$

Y para el círculo 2 tenemos:

$\theta_2^\prime = \theta_2 + \frac{\pi}{2} + \alpha$

Sus pendientes para estas tangentes están entonces dadas por:

$s_1 = -\cot(\theta_1^\prime)$

$s_2 = -\cot(\theta_2^\prime)$

Si estableces esas pendientes iguales a la versión relevante (positiva o negativa) de la pendiente de la elipse y reescribes tus ángulos en términos de un único ángulo utilizando las relaciones dadas justo al principio de estas ediciones, deberías obtener una solución para tu ángulo, que luego se convierte en una solución para los tres ángulos, lo que a su vez debería darte una solución para tu área... espero no haber cometido ninguna errata.

Answer 2

No creo que tenga la paciencia necesaria para trabajar en los detalles, pero así es como yo establecería las cosas...

Parametrizar la elipse centrada en el origen mediante $P_\theta := (a\cos\theta,b\sin\theta)$ . El vector tangente en $P_\theta$ es $(-a\sin\theta,b\cos\theta)$ para que la normal que apunta hacia afuera en $P_\theta$ es $\mathbf{n}_\theta := (b\cos\theta,a\sin\theta)$ .

Dejemos que $R$ y $S$ sean los centros de los círculos ---de radio $r$ y $s$ , respectivamente--- y dejemos que $$R^\prime := P_\theta \qquad S^\prime := P_\phi$$ sean sus respectivos puntos de tangencia con la elipse (con algunos límites adecuados en $\theta$ y $\phi$ ); dejar $T^\prime$ sea el punto de tangencia de los círculos entre sí.

Tenemos $$R = P_\theta + r \frac{\mathbf{n}_\theta}{|\mathbf{n}_\theta|} \qquad S = P_\phi + s \frac{\mathbf{n}_\phi}{|\mathbf{n}_\phi|} \qquad |R-S|=r+s$$

Podemos describir la región objetivo como $\triangle ORS$ con algunos subtriángulos y sectores (dos circulares, uno elíptico) eliminados. Así, $$\begin{align} 2A &= 2\left(\triangle ORS-\triangle ORR^\prime - \triangle OSS^\prime-\mathrm{csect} RR^\prime T^\prime-\mathrm{csect} SS^\prime T^\prime - \mathrm{esect}OR^\prime S^\prime \right) \\ &= |R\times S| - |R\times R^\prime| - |S\times S^\prime| - r^2 \;\mathrm{acos} \frac{R\cdot(R-S)}{|R|(r+s)} - s^2\;\mathrm{acos}\frac{S\cdot(S-R)}{|S|(r+s)} - a b \;|\theta-\phi|\end{align}$$ donde se tiene un poco de cuidado en calcular correctamente $|\theta-\phi|$ modulo $2\pi$ .

A partir de aquí... Escribe $R$ y $S$ en términos de $\theta$ y $\phi$ , aplique la restricción $|R-S|=r+s$ y vete a la ciudad.