La primera derivada de la hiperbólica inversa sin

Question

Si sé $ sinh^{-1}(x) $ = $ ln(x+ (1 + x^{2} ) ^ { \frac{1}{2} } ) $

Conozco una forma de evaluar esa derivada, es : $\frac {1}{(1 + x^{2} )^{\frac{1}{2}} }$ pero ¿es aceptable tomar $ \frac{d}{dx} $ ambos lados de arriba y lo resuelven?

Lo he intentado de todos modos en RHS y aquí están los pasos hasta ahora :

$ \frac{d}{dx} ln(x+ (1 + x^{2} ) ^ { \frac{1}{2} } ) = \frac { f'(x) } { f(x) } [ $ donde $ f (x) = (x+ (1 + x^{2} ) ^ { \frac{1}{2} } ) $ ] $ = \frac { 1+ \frac{(x^{2} +1)^{\frac{-3}{2}}}{2} }{x+ (x^{2}+1)^{\frac{1}{2}}} $

y aquí es donde me detuve.

Editar :

la razón fue un simple error de diferenciación en el último paso donde debería ser $ \frac {-1}{2} $ en lugar de $ \frac {-3}{2} $ lo que conlleva problemas de simplificación. La respuesta de Mark está completa.

Answer 1

Tenemos lo siguiente:

$$f(x)=sinh^{-1}(x)=log(x+(x^2+1)^{1/2})$$

Entonces, tomando la derivada de ambos lados se obtiene:

$$\frac {dy}{dx}=\frac {1+\frac {x}{(x^2+1)^{1/2}}}{x+(1+x^2)^{1/2}}$$

Esto es simplemente a través de la regla de la cadena, observando $\frac {d}{dx}log(x)=\frac 1x$ Así que $\frac {d}{dx}log(g(x))=\frac {g'(x)}{g(x)}$

Entonces, combina las dos fracciones del numerador en una sola fracción:

$$\frac {dy}{dx}=\frac {(x^2+1)^{1/2}+x}{(x^2+1)^{1/2}}\cdot \frac {1}{(1+x^2)^{1/2}+x}=\frac {1}{(x^2+1)^{1/2}}$$