Submódulo máximo que no contiene un elemento

Question

[El título era: Deja $M$ sea un módulo, $N$ un submódulo en $M$ condiciones de $x$ y $M$ ( $N\leq M$ o la existencia de $K\leq M$ máximo $x\not \in K N\leq K$ ) tal que $Rx+N=M$ ]

Dejemos que $M$ ser una izquierda $R$ módulo.Si $N\leq M$ con $Rx+N=M$ entonces $N=M$ o existe un submódulo máximo $K$ de $M$ con $N\leq K$ y $x\not \in K$ .

Answer 1

La pregunta no me queda del todo clara, pero creo que el siguiente enunciado podría resolver tu problema:

LEMA. Sea $R$ sea un anillo, $M$ a la izquierda $R$ -módulo, $N\leq M$ y $x\in M$ tal que $N+Rx=M$ y $x\notin N$ . Entonces, hay un submódulo $K$ de $M$ que es máxima con respecto a las propiedades de contener $N$ y que no contenga $x$ .

PRUEBA. Consideremos el poset (con el orden parcial dado por la inclusión) $\mathcal F=\{X\leq M: N\leq X, x\notin X\}$ . Este poset no está vacío ya que contiene $N$ . Dada una cadena $X_1\leq X_2\leq \ldots\leq X_\alpha\leq \ldots$ de elementos en $\mathcal F$ , fíjese que $\bigcup X_\alpha$ pertenece a $\mathcal F$ . Para concluir, aplique el lema de Zorn.