La probabilidad del número mínimo de extracciones necesarias para obtener bolas de los tres colores es mayor que $n$

Question

Pregunta: Una caja contiene $50$ bolas rojas, $30$ bolas verdes y $20$ bolas azules. Supongamos que las bolas son se extraen sucesivamente al azar con reemplazo de la caja. Sea $N$ denotan el número mínimo de extracciones necesarias para obtener bolas de los tres colores. Calcule $P(N > n)$ para todos los enteros positivos n.

Mi intento:

Trato de encontrar el número de formas de obtener menos de $3$ bolas de diferentes colores en $n$ sorteos. Esto puede ocurrir de las siguientes maneras:

• sólo se obtienen bolas rojas o azules o verdes con probabilidad $(\frac {5}{10})^n +(\frac {3}{10})^n +(\frac {2}{10})^n$

• sólo se obtienen bolas de dos colores diferentes con probabilidad $$\sum_{x=0}^n{n\choose x}(\frac {5}{10})^x(\frac {3}{10})^{n-x} + \sum_{x=0}^n {n\choose x}(\frac {5}{10})^x(\frac {2}{10})^{n-x} + \sum_{x=0}^n{n\choose x}(\frac {3}{10})^x(\frac {2}{10})^{n-x}$$ $$= (\frac {1}{2})^{n} + (\frac {8}{10})^n + (\frac {7}{10})^n$$

Y la sumamos la probabilidad para obtener la respuesta requerida.

¿Son correctos mi método y mis cálculos? Además, si hay alguna forma más sencilla de hacer esto, es bienvenido a mencionarlo. Gracias de antemano.

Answer 1

Su segundo caso incluye el primero, de hecho, lo incluye dos veces. Así que tienes que restar el primer caso una vez (no sumarlo) para asegurarte de que todos los casos se cuentan correctamente. La respuesta es $$\eqalign{&\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^{n}+\Bigl(\frac{8}{10}\Bigr)^n+\Bigl(\frac{7}{10}\Bigr)^n-\Bigl(\frac{5}{10}\Bigr)^n-\Bigl(\frac{3}{10}\Bigr)^n-\Bigl(\frac{2}{10}\Bigr)^n\cr &\qquad\qquad{}=\Bigl(\frac{8}{10}\Bigr)^n+\Bigl(\frac{7}{10}\Bigr)^n-\Bigl(\frac{3}{10}\Bigr)^n-\Bigl(\frac{2}{10}\Bigr)^n\ .\cr}$$ Este es un ejemplo de inclusión/exclusión .