Los ideales no triviales del dominio integral se cruzan de forma no trivial

Question

Dejemos que $R$ sea un dominio integral, y $A , B$ sean ideales no triviales de $R$ . Entonces demuestre que $|A \cap B|>1$ .

Answer 1

Sabemos que $0\in A$ y $0\in B$ . Sea $a\in A$ y $b\in B$ . Entonces $ab\in A\cap B$ . Desde $R$ es un dominio integral, $ab\neq 0$ .

Answer 2

Dejemos que $0 \ne a \in A$ , $0 \ne b \in B$ ; sabemos que tal $a, b$ existen en virtud de la suposición de que $A$ y $B$ son no triviales. Entonces, como $A$ y $B$ son ideales del dominio integral $R$ tenemos $0 \ne ab \in A$ y $0 \ne ab \in B$ De ahí que $ab \in A \cap B$ . Además, para cualquier $r \in R$ tenemos $abr \in A$ y $abr \in B$ para que de hecho $abr \in A \cap B$ o $(ab) = abR \subset A \cap B$ . Ahora, para los casos de $s \in R$ el mapa $\phi_s: R \to R$ definido por $\phi_s(c) = sc$ es claramente inyectiva, ya que si $\phi_s(c_1) = \phi_s(c_2)$ entonces $sc_1 = sc_2$ por lo que por la propiedad de cancelación de dominios integrales tenemos $c_1 = c_2$ . Además, vemos que $\phi_{ab}(R) = abR \subset A \cap B$ . Así, $A \cap B$ tiene un subconjunto, $abR$ con $\mid abR \mid = \mid R \mid$ . Dado que los dominios integrales no triviales $R$ debe tener $0 \ne 1$ , $\mid R \mid \ge 2$ De ahí que $\mid abR \mid \ge 2$ . Desde $abR \subset A \cap B$ tenemos $\mid A \cap B \mid \ge 2$ de hecho, hemos demostrado que $\mid A \cap B \mid \ge \mid R \mid$ ; pero como $A \cap B \subset R$ obtenemos en efecto $\mid A \cap B \mid = \mid R \mid$ también. QED.

Espero que esto ayude. Adiós,

y como siempre,

¡¡Fiat Lux!!